Exercício 2 Calcule o limite, se existir.
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
com a condição
. Informações relevantes dadas:
- A variável que tende a um valor é
e o ponto de aproximação é . -
é um parâmetro fixo e diferente de zero. - Se eu substituo
diretamente no numerador e denominador, obtenho no numerador e no denominador, portanto a expressão tem a forma indeterminada quando .
Passo 2
O que significa a forma indeterminada
e por que não podemos concluir o limite só com isso.
- Quando a substituição direta dá um número finito e bem definido, esse é o limite. Por exemplo,
. - Mas se ao substituir obtemos
, isso indica que tanto numerador quanto denominador se anulam no ponto; o quociente pode tender a qualquer valor, então é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite. - Uma técnica elementar é simplificar algébrica ou fatorar a expressão; essa é a escolha natural aqui porque o numerador é uma diferença de potências (
).
Passo 3
Fórmula e demonstração da fatoração usada (diferença de cubos).
- A identidade algébrica conhecida é
- Para ver por que ela é verdadeira, multiplica-se as duas parcelas do lado direito:
- Calculando termo a termo:
- Portanto a fatoração está correta.
Passo 4
Usar a fatoração para simplificar a razão e eliminar a indeterminação.
- Substituindo a fatoração na expressão do limite temos, para
,
- A simplificação é válida para
, que é exatamente o caso considerado em limites (aproximação, não igualdade).
Passo 5
Propriedade de continuidade de polinômios e avaliação do limite.
- Polinômios são funções contínuas em todo
. Isso significa que, para um polinômio ,
- Como
é um polinômio, pode-se simplesmente substituir para obter o valor do limite:
Passo 6
Calcular a soma final e escrever o resultado.
- Avaliando a expressão em
:
- Logo o limite existe e vale
.
Passo 7
Observação extra (métodos alternativos rápidos, para fixar a ideia):
- Pela definição de derivada, esse limite também é o quociente incremental de
em , portanto é . Como , tem-se . - Outra forma seria aplicar a regra de L’Hôpital à indeterminação
: derivando numerador e denominador dá , que ao avaliar em dá . Estas são alternativas, mas a fatoração é a mais elementar aqui.