Exercício 2 Calcule o limite, se existir.
e) \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{3}-a^{3}}{x-a} \quad(a \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^{3}-a^{3}}{x-a},
com a condição a \neq 0. Informações relevantes dadas:
  • A variável que tende a um valor é x e o ponto de aproximação é x=a.
  • a é um parâmetro fixo e diferente de zero.
  • Se eu substituo x=a diretamente no numerador e denominador, obtenho \;a^{3}-a^{3}=0\; no numerador e \;a-a=0\; no denominador, portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0 quando x=a.

Passo 2

O que significa a forma indeterminada 0/0 e por que não podemos concluir o limite só com isso.
  • Quando a substituição direta dá um número finito e bem definido, esse é o limite. Por exemplo, \lim_{x\to1} (2x)=2.
  • Mas se ao substituir obtemos 0/0, isso indica que tanto numerador quanto denominador se anulam no ponto; o quociente pode tender a qualquer valor, então é preciso manipular a expressão para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
  • Uma técnica elementar é simplificar algébrica ou fatorar a expressão; essa é a escolha natural aqui porque o numerador é uma diferença de potências ( x^3-a^3).

Passo 3

Fórmula e demonstração da fatoração usada (diferença de cubos).
  • A identidade algébrica conhecida é
x^{3}-a^{3}=(x-a)\,(x^{2}+ax+a^{2}).
  • Para ver por que ela é verdadeira, multiplica-se as duas parcelas do lado direito:
(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})=x\cdot x^{2}+x\cdot ax+x\cdot a^{2}-a\cdot x^{2}-a\cdot ax-a\cdot a^{2}.
  • Calculando termo a termo:
= x^{3}+ax^{2}+a^{2}x - ax^{2}-a^{2}x - a^{3} = x^{3}-a^{3}.
  • Portanto a fatoração está correta.

Passo 4

Usar a fatoração para simplificar a razão e eliminar a indeterminação.
  • Substituindo a fatoração na expressão do limite temos, para x\neq a,
\frac{x^{3}-a^{3}}{x-a}=\frac{(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})}{x-a}=x^{2}+ax+a^{2}.
  • A simplificação é válida para x\neq a, que é exatamente o caso considerado em limites (aproximação, não igualdade).

Passo 5

Propriedade de continuidade de polinômios e avaliação do limite.
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
  • Como \;x^{2}+ax+a^{2}\; é um polinômio, pode-se simplesmente substituir x=a para obter o valor do limite:
\lim_{x\to a} \bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr)=a^{2}+a\cdot a+a^{2}.

Passo 6

Calcular a soma final e escrever o resultado.
  • Avaliando a expressão em x=a:
a^{2}+a\cdot a+a^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}=3a^{2}.
  • Logo o limite existe e vale 3a^{2}.

Passo 7

Observação extra (métodos alternativos rápidos, para fixar a ideia):
  • Pela definição de derivada, esse limite também é o quociente incremental de f(x)=x^{3} em a, portanto é f'(a). Como f'(x)=3x^{2}, tem-se f'(a)=3a^{2}.
  • Outra forma seria aplicar a regra de L’Hôpital à indeterminação 0/0: derivando numerador e denominador dá \dfrac{3x^{2}}{1}, que ao avaliar em x=a 3a^{2}. Estas são alternativas, mas a fatoração é a mais elementar aqui.

Resposta

3a^{2}

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