Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, quando existir, da sequência
Informações dadas:
Pergunta implícita: a sequência é convergente? Se for, qual é o valor de
?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa convergência de sequência (aula rápida e direta): dizer que uma sequência
converge para um número real
significa que, para qualquer erro
, existe
tal que para todo
temos
. Intuitivamente,
fica cada vez mais próximo de
. Se os termos crescem em módulo sem limite, a sequência não converge para um número real. Também existe a possibilidade de divergentemente crescer para
(então escrevemos
) ou para
, mas se os termos alternam entre sinais com módulos indo para infinito, não há limite (nem finito nem ±∞ único).
No nosso caso é útil estudar o módulo da sequência:
Se
, então
não pode convergir para um número real; além disso, se os termos com índices pares tendem a
e os com índices ímpares tendem a
, isso confirma que não há limite nem em termos estendidos.
Passo 3
Estudamos o comportamento de
. Uma técnica útil é olhar a razão entre termos consecutivos:
Para simplificar a análise, uma estimativa mais simples basta: note que
e
, mas usaremos uma comparação direta mais precisa. Podemos escrever
Para
grande a fração
tende a
, então o comportamento principal vem de
. Mais concretamente, para
temos
, então
Passo 4
Da desigualdade do passo anterior segue que, para todo
,
Aplicando essa desigualdade recursivamente para passar de
até um
genérico, obtemos, para
,
Calculando
(apenas para um valor inicial concreto),
Portanto
Como
, o termo à direita tende a
quando
. Logo
. Isso mostra que os módulos dos termos crescem sem bound; em particular a sequência não pode convergir para um número real finito.
Passo 5
Vamos ver o comportamento dos termos pares e ímpares separadamente (isso ajuda a ver se há algum tipo de “limite estendido” consistente):
logo
é uma subsequência positiva cujo módulo equivale a
, que tende a
(pela mesma razão do passo anterior aplicada a
). Portanto
.
Para os índices ímpares:
e a magnitude também tende a
, portanto
.
Como uma subsequência tende a
e outra tende a
, não existe um único limite (nem finito, nem
, nem
) para a sequência completa
.
Passo 6
Conclusão: a sequência
diverge — seus termos em módulo vão para
e os sinais alternam, fazendo as subsequências pares e ímpares irem para
e
, respectivamente. Portanto não existe limite em
(nem um único limite estendido).