Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
b_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite (quando existir) da sequência b_{n} definida por
b_{n}=\frac{(-1)^{n-1} n^{3}}{n^{3}+2 n^{2}+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de b_{n} está acima.
  • Não há mais dados numéricos ou condições adicionais.
  • A pergunta implícita é: a sequência (b_{n}) converge? Se sim, qual é o limite? Se não, identificar o comportamento limite (por exemplo, limites das subsequências).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): a sequência tem um fator alternante (-1)^{n-1} que muda o sinal conforme n é par ou ímpar, e um quociente envolvendo potências de n. Em muitas dessas situações o procedimento padrão é separar o fator de sinal e analisar o limite do módulo (ou do fator que não alterna) dividindo numerador e denominador pela maior potência de n. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Fatoramos a maior potência de n presente no denominador e no numerador, que é n^{3}. Escrevemos:
b_{n}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{n^{3}}{n^{3}+2n^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por n^{3} (isso é permitido para n\neq0, e aqui estamos interessados em n\to\infty), obtemos:
b_{n}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}}.

Passo 4

Agora vamos analisar o fator
a_{n}=\frac{1}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Explicando por que a_{n}\to1: sabemos que \dfrac{2}{n}\to0 quando n\to\infty e \dfrac{1}{n^{3}}\to0 quando n\to\infty, porque qualquer termo da forma \dfrac{c}{n^{p}} com p>0 tende a zero. Logo o denominador 1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{3}} tende a 1+0+0=1. Como a função x\mapsto 1/x é contínua em x=1, segue que
a_{n}=\frac{1}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}}\longrightarrow\frac{1}{1}=1.
Portanto, para n grande, a_{n} está muito próximo de 1.

Passo 5

Retornando a b_{n}, temos a representação
b_{n}=(-1)^{n-1}\cdot a_{n}
com a_{n}\to1. Assim, o comportamento assintótico de b_{n} é determinado pelo fator alternante (-1)^{n-1}, multiplicado por algo que se aproxima de 1. Para tornar isso preciso, considere as duas subsequências:
  • Para n ímpar (escreva n=2k+1): (-1)^{n-1}=(-1)^{2k}=1. Então a subsequência dos índices ímpares é b_{2k+1}=1\cdot a_{2k+1}=a_{2k+1}.Como a_{n}\to1, segue que \lim_{k\to\infty} b_{2k+1}=1.
  • Para n par (escreva n=2k): (-1)^{n-1}=(-1)^{2k-1}=-1. Então a subsequência dos índices pares é b_{2k}=-1\cdot a_{2k}=-a_{2k}.Como a_{n}\to1, segue que \lim_{k\to\infty} b_{2k}=-1.

Passo 6

Conclusão sobre a convergência da sequência completa: um teorema básico de sequências diz que se uma sequência converge, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite. Aqui encontramos duas subsequências (pares e ímpares) com limites diferentes ( 1 e -1). Portanto a sequência inteira (b_{n}) não pode convergir. Em linguagem simples: os termos se aproximam de 1 quando n é ímpar e de -1 quando n é par, então não há um único número que seja limite de todos os termos.

Resposta

A sequência (b_{n}) não converge.
Limite da subsequência com n ímpar: \;1.
Limite da subsequência com n par: -1.

Exercícios relacionados