Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
r_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando existir, da sequência
r_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n^{2}+1}.
Informações dadas:
\text{a sequência } r_{n} \text{ é dada explicitamente por } r_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n^{2}+1}.êé
Pergunta implícita: a sequência é convergente? Se for, qual é o valor de \lim_{n\to\infty} r_{n}?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa convergência de sequência (aula rápida e direta): dizer que uma sequência \,(x_n) converge para um número real L significa que, para qualquer erro \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |x_n-L|<\varepsilon. Intuitivamente, x_n fica cada vez mais próximo de L. Se os termos crescem em módulo sem limite, a sequência não converge para um número real. Também existe a possibilidade de divergentemente crescer para +\infty (então escrevemos \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty) ou para -\infty, mas se os termos alternam entre sinais com módulos indo para infinito, não há limite (nem finito nem ±∞ único).
No nosso caso é útil estudar o módulo da sequência:
|r_n|=\frac{3^{n}}{n^{2}+1}.
Se |r_n|\to+\infty, então r_n não pode convergir para um número real; além disso, se os termos com índices pares tendem a +\infty e os com índices ímpares tendem a -\infty, isso confirma que não há limite nem em termos estendidos.

Passo 3

Estudamos o comportamento de |r_n|=\dfrac{3^{n}}{n^{2}+1}. Uma técnica útil é olhar a razão entre termos consecutivos:
\frac{|r_{n+1}|}{|r_n|} = \frac{3^{\,n+1}/\big((n+1)^2+1\big)}{3^{n}/(n^2+1)} =3\cdot\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1}.
Para simplificar a análise, uma estimativa mais simples basta: note que (n+1)^2+1<(n+1)^2+(n+1)^2=2(n+1)^2 e n^2+1>n^2, mas usaremos uma comparação direta mais precisa. Podemos escrever
\frac{|r_{n+1}|}{|r_n|} =3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}\cdot\frac{1+1/n^{2}}{1+1/(n+1)^{2}}.
Para n grande a fração \dfrac{1+1/n^{2}}{1+1/(n+1)^{2}} tende a 1, então o comportamento principal vem de 3\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2}. Mais concretamente, para n\ge2 temos n/(n+1)\ge2/3, então
\frac{|r_{n+1}|}{|r_n|}\ge 3\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=3\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{3}>1.

Passo 4

Da desigualdade do passo anterior segue que, para todo n\ge2,
|r_{n+1}|\ge\frac{4}{3}\,|r_n|.
Aplicando essa desigualdade recursivamente para passar de n=2 até um n genérico, obtemos, para n\ge2,
|r_n|\ge |r_2|\left(\frac{4}{3}\right)^{\,n-2}.
Calculando |r_2| (apenas para um valor inicial concreto),
|r_2|=\frac{3^{2}}{2^{2}+1}=\frac{9}{5}.
Portanto
|r_n|\ge\frac{9}{5}\left(\frac{4}{3}\right)^{\,n-2}.
Como \dfrac{4}{3}>1, o termo à direita tende a +\infty quando n\to\infty. Logo |r_n|\to+\infty. Isso mostra que os módulos dos termos crescem sem bound; em particular a sequência não pode convergir para um número real finito.

Passo 5

Vamos ver o comportamento dos termos pares e ímpares separadamente (isso ajuda a ver se há algum tipo de “limite estendido” consistente):
r_{2n}=\frac{(-3)^{2n}}{(2n)^{2}+1}=\frac{9^{n}}{4n^{2}+1}>0,
logo (r_{2n}) é uma subsequência positiva cujo módulo equivale a \dfrac{9^{n}}{4n^{2}+1}, que tende a +\infty (pela mesma razão do passo anterior aplicada a 9^{n}/n^2). Portanto \lim_{n\to\infty} r_{2n}=+\infty.
Para os índices ímpares:
r_{2n+1}=\frac{(-3)^{2n+1}}{(2n+1)^{2}+1}=-\frac{3\cdot 9^{n}}{(2n+1)^{2}+1}<0,
e a magnitude também tende a +\infty, portanto \lim_{n\to\infty} r_{2n+1}=-\infty.
Como uma subsequência tende a +\infty e outra tende a -\infty, não existe um único limite (nem finito, nem +\infty, nem -\infty) para a sequência completa (r_n).

Passo 6

Conclusão: a sequência \,r_{n}=\dfrac{(-3)^{n}}{n^{2}+1} diverge — seus termos em módulo vão para +\infty e os sinais alternam, fazendo as subsequências pares e ímpares irem para +\infty e -\infty, respectivamente. Portanto não existe limite em \mathbb{R} (nem um único limite estendido).

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_{n} não existe (a sequência diverge).

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