Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite (quando existir) da sequência
definida por
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Não há mais dados numéricos ou condições adicionais.
- A pergunta implícita é: a sequência
converge? Se sim, qual é o limite? Se não, identificar o comportamento limite (por exemplo, limites das subsequências).
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): a sequência tem um fator alternante
que muda o sinal conforme
é par ou ímpar, e um quociente envolvendo potências de
. Em muitas dessas situações o procedimento padrão é separar o fator de sinal e analisar o limite do módulo (ou do fator que não alterna) dividindo numerador e denominador pela maior potência de
. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Fatoramos a maior potência de
presente no denominador e no numerador, que é
. Escrevemos:
Dividindo numerador e denominador por
(isso é permitido para
, e aqui estamos interessados em
), obtemos:
Passo 4
Agora vamos analisar o fator
Explicando por que
: sabemos que
quando
e
quando
, porque qualquer termo da forma
com
tende a zero. Logo o denominador
tende a
. Como a função
é contínua em
, segue que
Portanto, para
grande,
está muito próximo de
.
Passo 5
Retornando a
, temos a representação
com
. Assim, o comportamento assintótico de
é determinado pelo fator alternante
, multiplicado por algo que se aproxima de
. Para tornar isso preciso, considere as duas subsequências:
- Para
ímpar (escreva ): . Então a subsequência dos índices ímpares é Como , segue que - Para
par (escreva ): . Então a subsequência dos índices pares é Como , segue que
Passo 6
Conclusão sobre a convergência da sequência completa: um teorema básico de sequências diz que se uma sequência converge, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite. Aqui encontramos duas subsequências (pares e ímpares) com limites diferentes (
e
). Portanto a sequência inteira
não pode convergir. Em linguagem simples: os termos se aproximam de
quando
é ímpar e de
quando
é par, então não há um único número que seja limite de todos os termos.
Resposta
A sequência
não converge.
Limite da subsequência com ímpar:
.
Limite da subsequência com par:
.
Limite da subsequência com
Limite da subsequência com