Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
z_{n}=\frac{\cos ^{2}(n)}{\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
z_{n}=\frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}
e pede para calcular o limite (quando n\to\infty) caso a sequência seja convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: n é o índice que tende a +\infty, a função \cos(n) aparece ao quadrado em cima, e há uma raiz quadrada de n no denominador.

Passo 2

Observe um fato simples sobre a função cosseno e seu quadrado. Para qualquer número real x vale
-1 \le \cos(x) \le 1.
Ao elevar ao quadrado, as desigualdades mudam para
0 \le \cos^{2}(x) \le 1.
Aqui usamos que elevar ao quadrado elimina o sinal e leva quaisquer valores em [-1,1] para [0,1]. Aplicando isso para x=n (qualquer inteiro n) obtemos
0 \le \cos^{2}(n) \le 1.

Passo 3

Note que para todo n\ge1 temos \sqrt{n}>0. Dividindo a desigualdade do Passo 2 por \sqrt{n} (isso preserva a desigualdade porque dividimos por número positivo) obtemos
0 \le \frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.
Ou seja,
0 \le z_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento da sequência \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr)_{n}. Como n\to\infty temos \sqrt{n}\to\infty, e o recíproco de um número que tende a infinito tende a zero. Em símbolos:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Explicando de maneira bem direta: para qualquer \varepsilon>0 basta escolher N tal que para n\ge N tenhamos \sqrt{n}>\tfrac{1}{\varepsilon}; então \tfrac{1}{\sqrt{n}}<\varepsilon. Isso prova a convergência para 0.

Passo 5

Apresento agora o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), que é a ferramenta que vamos usar. O teorema diz: se existem sequências a_{n}, b_{n}, c_{n} tais que, para todo n suficientemente grande,
a_{n} \le b_{n} \le c_{n},
e se
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} c_{n}=L,
então
\lim_{n\to\infty} b_{n}=L.
Aqui a_{n}, b_{n}, c_{n} são sequências reais quaisquer, e L é o limite comum das sequências extremas.

Passo 6

Aplique o teorema do confronto com a_{n}=0, b_{n}=z_{n}=\tfrac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}} e c_{n}=\tfrac{1}{\sqrt{n}}. Pelos Passos 3 e 4 temos, para n\ge1,
0 = a_{n} \le b_{n} \le c_{n},
e
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0,\qquad \lim_{n\to\infty} c_{n}=0.
Pelo teorema do confronto segue que
\lim_{n\to\infty} z_{n}=0.

Passo 7

Como observação alternativa (mesma conclusão por outro caminho): usando valor absoluto,
|z_{n}|=\frac{\cos^{2}(n)}{\sqrt{n}}\le\frac{1}{\sqrt{n}},
e como \tfrac{1}{\sqrt{n}}\to0, então |z_{n}|\to0, o que implica z_{n}\to0. Isso reforça a conclusão anterior e às vezes é a forma mais direta de argumentar em provas.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} z_{n}=0

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