Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para calcular o limite (quando
) caso a sequência seja convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
é o índice que tende a
, a função
aparece ao quadrado em cima, e há uma raiz quadrada de
no denominador.
Passo 2
Observe um fato simples sobre a função cosseno e seu quadrado. Para qualquer número real
vale
Ao elevar ao quadrado, as desigualdades mudam para
Aqui usamos que elevar ao quadrado elimina o sinal e leva quaisquer valores em
para
. Aplicando isso para
(qualquer inteiro
) obtemos
Passo 3
Note que para todo
temos
. Dividindo a desigualdade do Passo 2 por
(isso preserva a desigualdade porque dividimos por número positivo) obtemos
Ou seja,
Passo 4
Agora analisamos o comportamento da sequência
. Como
temos
, e o recíproco de um número que tende a infinito tende a zero. Em símbolos:
Explicando de maneira bem direta: para qualquer
basta escolher
tal que para
tenhamos
; então
. Isso prova a convergência para
.
Passo 5
Apresento agora o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), que é a ferramenta que vamos usar. O teorema diz: se existem sequências
,
,
tais que, para todo
suficientemente grande,
e se
então
Aqui
,
,
são sequências reais quaisquer, e
é o limite comum das sequências extremas.
Passo 6
Aplique o teorema do confronto com
,
e
. Pelos Passos 3 e 4 temos, para
,
e
Pelo teorema do confronto segue que
Passo 7
Como observação alternativa (mesma conclusão por outro caminho): usando valor absoluto,
e como
, então
, o que implica
. Isso reforça a conclusão anterior e às vezes é a forma mais direta de argumentar em provas.