Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
(L’Hospital.)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite da sequência
quando
.
Informações dadas: a sequência é definida por para
inteiro positivo.
Informações dadas: a sequência é definida por
Passo 2
Observação útil (transformação que facilita a conta): é conveniente trabalhar com o logaritmo natural de
. Definimos
Como
, temos
Explicação didática: a função exponencial
é contínua. Logo, se
existe e é finito, então
Portanto basta calcular
.
Passo 3
Analisando a forma de
quando
: o numerador
e o denominador
, então temos uma indeterminação do tipo
. Uma ferramenta apropriada para esse tipo é a regra de L’Hospital. Vou explicar a regra antes de usá-la.
A regra de L’Hospital (versão para
) diz: se
e
são funções diferenciáveis para
grandes,
,
e o limite
existe (ou é
), então
Condições intuitivas: precisamos derivar numerador e denominador e estudar o novo limite.
Passo 4
Aplicando L’Hospital ao caso contínuo
(fazemos
aproximar-se de
como
real, procedimento padrão para sequências que envolvem funções suaves):
Aqui usei
e
.
Passo 5
Calcule o limite final:
Portanto
Passo 6
Volto para a sequência original: como
e
, pela continuidade de
temos
Intuição rápida: para
grande,
é muito pequeno, e
fica perto de
. Isso pode ajudar na prova ou na hora da prova para justificar semanticamente o resultado.