Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
t_{n}=e^{\frac{\ln (n)}{n}} (L’Hospital.)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite da sequência \,t_{n}=e^{\frac{\ln(n)}{n}}\, quando n\to\infty.
Informações dadas: a sequência é definida por \,t_{n}=e^{\frac{\ln(n)}{n}}\, para n inteiro positivo.

Passo 2

Observação útil (transformação que facilita a conta): é conveniente trabalhar com o logaritmo natural de t_{n}. Definimos
s_{n}=\ln\bigl(t_{n}\bigr).
Como t_{n}=e^{\frac{\ln(n)}{n}}, temos
s_{n}=\frac{\ln(n)}{n}.
Explicação didática: a função exponencial e^{x} é contínua. Logo, se \lim_{n\to\infty}s_{n}=L existe e é finito, então
\lim_{n\to\infty}t_{n}=\lim_{n\to\infty}e^{s_{n}}=e^{L}.
Portanto basta calcular \lim_{n\to\infty}s_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}.

Passo 3

Analisando a forma de \frac{\ln(n)}{n} quando n\to\infty: o numerador \ln(n)\to\infty e o denominador n\to\infty, então temos uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Uma ferramenta apropriada para esse tipo é a regra de L’Hospital. Vou explicar a regra antes de usá-la.
A regra de L’Hospital (versão para x\to\infty) diz: se f e g são funções diferenciáveis para x grandes, f(x)\to\infty, g(x)\to\infty e o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Condições intuitivas: precisamos derivar numerador e denominador e estudar o novo limite.

Passo 4

Aplicando L’Hospital ao caso contínuo x\to\infty (fazemos n aproximar-se de \infty como x real, procedimento padrão para sequências que envolvem funções suaves):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}.
Aqui usei \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} e \frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Calcule o limite final:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0.

Passo 6

Volto para a sequência original: como s_{n}=\frac{\ln(n)}{n}\to 0 e t_{n}=e^{s_{n}}, pela continuidade de e^{x} temos
\lim_{n\to\infty}t_{n}=e^{0}=1.
Intuição rápida: para n grande, \ln(n)/n é muito pequeno, e e^{\text{coisa pequena}} fica perto de 1. Isso pode ajudar na prova ou na hora da prova para justificar semanticamente o resultado.

Resposta

1

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