Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
f_{n}=n \operatorname{sen}(1 / n)+\frac{(-9)^{n}}{10^{n}}. (Limite fundamental.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando n\to\infty, da sequência
f_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)+\frac{(-9)^{n}}{10^{n}}.
Informações dadas (relevantes):
\;f_n é a soma de duas parcelas: a primeira é n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right) e a segunda é \dfrac{(-9)^{n}}{10^{n}}.
Não há mais dados; precisamos achar \lim_{n\to\infty} f_n.

Passo 2

Vamos estudar a primeira parcela \;n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right).
Uma forma padrão de tratar expressões desse tipo é escrever
n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)=\frac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}.
Agora usamos um limite fundamental da trigonometria: para x\to 0
\frac{\sin x}{x}\to 1.
Vou justificar essa afirmação de forma elementar (sem Taylor): para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}) temos a desigualdade geométrica clássica
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Essas desigualdades vêm de \sin x < x < \tan x e manipulação algébrica (dividindo por x e usando \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}). Como \cos x\to 1 quando x\to 0, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que \dfrac{\sin x}{x}\to 1.

Passo 3

Aplicando o resultado do passo anterior com x=\tfrac{1}{n} (note que \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty), obtemos
\lim_{n\to\infty} n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}=1.
Ou seja, a primeira parcela converge para 1.

Passo 4

Agora a segunda parcela \dfrac{(-9)^{n}}{10^{n}}. Reescrevemos
\frac{(-9)^{n}}{10^{n}}=\left(-\frac{9}{10}\right)^{n}.
Seja q=-\tfrac{9}{10}. Temos |q|=\tfrac{9}{10}<1. É um fato elementar que, para qualquer r com |r|<1, a sequência r^{n} tende a 0 quando n\to\infty. Uma demonstração simples: considere a_n=|r|^n. Então a_{n+1}=|r|a_n com 0<|r|<1, assim (a_n) é não crescente e limitada abaixo por 0, logo converge para algum L\ge0. Tomando limites na relação a_{n+1}=|r|a_n obtemos L=|r|L, daí (1-|r|)L=0 e como 1-|r|>0 segue L=0. Portanto a_n\to 0, e isso implica r^n\to 0 (mesmo se r for negativo, o módulo tende a zero). Aplicando ao nosso caso,
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{9}{10}\right)^{n}=0.

Passo 5

Usamos a propriedade de limites: se duas sequências convergem, a soma converge para a soma dos limites. Já vimos que
\lim_{n\to\infty} n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{(-9)^{n}}{10^{n}}=0.
Logo
\lim_{n\to\infty} f_n =\lim_{n\to\infty}\left(n\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)+\frac{(-9)^{n}}{10^{n}}\right) =1+0=1.

Resposta

1

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