Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
. (Limite fundamental.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, quando
, da sequência
Informações dadas (relevantes):
é a soma de duas parcelas: a primeira é
e a segunda é
.
Não há mais dados; precisamos achar .
Não há mais dados; precisamos achar
Passo 2
Vamos estudar a primeira parcela
.
Uma forma padrão de tratar expressões desse tipo é escrever
Uma forma padrão de tratar expressões desse tipo é escrever
Agora usamos um limite fundamental da trigonometria: para
Vou justificar essa afirmação de forma elementar (sem Taylor): para
temos a desigualdade geométrica clássica
Essas desigualdades vêm de
e manipulação algébrica (dividindo por
e usando
). Como
quando
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
.
Passo 3
Aplicando o resultado do passo anterior com
(note que
quando
), obtemos
Ou seja, a primeira parcela converge para
.
Passo 4
Agora a segunda parcela
. Reescrevemos
Seja
. Temos
. É um fato elementar que, para qualquer
com
, a sequência
tende a
quando
. Uma demonstração simples: considere
. Então
com
, assim
é não crescente e limitada abaixo por
, logo converge para algum
. Tomando limites na relação
obtemos
, daí
e como
segue
. Portanto
, e isso implica
(mesmo se
for negativo, o módulo tende a zero). Aplicando ao nosso caso,
Passo 5
Usamos a propriedade de limites: se duas sequências convergem, a soma converge para a soma dos limites. Já vimos que
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