Exercício 2: Mostre que
é crescente.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
(para
,
) e pede para mostrar que ela é crescente.
Ou seja, temos que provar que, para todo , vale
.
Ou seja, temos que provar que, para todo
Passo 2
Lembrete (definição que vamos usar): uma sequência
é estritamente crescente se, para todo
,
.
Portanto a nossa meta é calcular a diferença e mostrar que ela é positiva para todo
.
Portanto a nossa meta é calcular a diferença
Passo 3
Calculemos a diferença explicitamente:
Agora simplificamos termo a termo:
Passo 4
Fazemos a subtração das frações com denominador comum
:
Substituindo isso em
, obtemos
Passo 5
Colocamos em única fração para ver o sinal claramente:
Agora observe que, para todo
, o denominador
é positivo (pois é produto de naturais positivos) e o numerador satisfaz
(no caso
dá
, e para
é ainda maior). Portanto o numerador é positivo também.
Passo 6
Como numerador e denominador de
são positivos para todo
, concluímos que
Logo
para todo
, isto é, a sequência é estritamente crescente.