Exercício 2: Mostre que
a_{n}=n+1 / n é crescente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \,a_{n}=n+\dfrac{1}{n}\, (para n\in\mathbb{N}, n\ge 1) e pede para mostrar que ela é crescente.
Ou seja, temos que provar que, para todo n\ge 1, vale \,a_{n+1}>a_n.

Passo 2

Lembrete (definição que vamos usar): uma sequência \,(a_n)\, é estritamente crescente se, para todo n, \,a_{n+1}>a_n.
Portanto a nossa meta é calcular a diferença \,a_{n+1}-a_n e mostrar que ela é positiva para todo n\ge 1.

Passo 3

Calculemos a diferença explicitamente:
a_{n+1}-a_n = \left(n+1+\frac{1}{\,n+1\,}\right)-\left(n+\frac{1}{n}\right).
Agora simplificamos termo a termo:
a_{n+1}-a_n = 1+\left(\frac{1}{\,n+1\,}-\frac{1}{n}\right).

Passo 4

Fazemos a subtração das frações com denominador comum n(n+1):
\frac{1}{\,n+1\,}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}.
Substituindo isso em \,a_{n+1}-a_n, obtemos
a_{n+1}-a_n = 1-\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 5

Colocamos em única fração para ver o sinal claramente:
a_{n+1}-a_n = \frac{n(n+1)-1}{n(n+1)}.
Agora observe que, para todo n\ge 1, o denominador n(n+1) é positivo (pois é produto de naturais positivos) e o numerador satisfaz
n(n+1)-1 = n^2+n-1 \ge 1
(no caso n=1 1, e para n\ge2 é ainda maior). Portanto o numerador é positivo também.

Passo 6

Como numerador e denominador de \dfrac{n(n+1)-1}{n(n+1)} são positivos para todo n\ge 1, concluímos que
a_{n+1}-a_n>0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Logo \,a_{n+1}>a_n para todo n\ge1, isto é, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

\,a_{n}=n+\dfrac{1}{n} é crescente.

Exercícios relacionados