Exercício 2.8 Calcule os limites, se existirem, ou mostre que não existem.
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
Dica: multiplique em cima e em baixo por \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis e a dica sugere usar racionalização do denominador.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1. Assim,
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} \;=\; \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1}.

Passo 3

No denominador temos a diferença de quadrados, portanto
(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1)(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1) = (x^{2}+y^{2}+1)-1 = x^{2}+y^{2}.
Logo a expressão se simplifica para \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1.

Passo 4

Agora usamos que essa expressão é contínua em (1,0). Basta substituir x=1 e y=0:
\sqrt{1^{2}+0^{2}+1}+1 = \sqrt{2}+1.

Resposta

\displaystyle \sqrt{2}+1

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