Exercício 2.8 Calcule os limites, se existirem, ou mostre que não existem.
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x^{2}+\sin ^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}.
Dica: \sin y \approx y.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^{2} + \sin^{2}y}{2x^{2} + y^{2}}
que é um limite de função de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos usar propriedades de limites (soma, produto e quociente) e o fato de que, para y próximo de 0, \sin y \approx y.

Passo 2

Calculemos separadamente os limites do numerador e do denominador:
— Numerador: \lim_{(x,y)\to(1,0)} x^{2} = 1
e, como \sin y\approx y, temos \lim_{y\to0} \sin^{2}y = 0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \bigl(x^{2} + \sin^{2}y\bigr) = 1 + 0 = 1.
— Denominador: \lim_{(x,y)\to(1,0)} 2x^{2} = 2
e \lim_{y\to0} y^{2} = 0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \bigl(2x^{2} + y^{2}\bigr) = 2 + 0 = 2.

Passo 3

Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos aplicar a regra do quociente de limites. Assim,
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^{2} + \sin^{2}y}{2x^{2} + y^{2}} = \frac{\lim (x^{2} + \sin^{2}y)}{\lim (2x^{2} + y^{2})} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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