Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\left|x^{2}-16\right|}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 4^-}\frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\left|x^{2}-16\right|}
Informações dadas e observações imediatas:
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=4 e é um limite pela esquerda (isto é, x se aproxima de 4 com x<4).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x} — portanto faz sentido falar de x próximos a 4 desde que x\ge 0, o que é verdade perto de 4.
  • Há um valor absoluto \left|x^{2}-16\right|; para simplificar será importante saber o sinal de x^{2}-16 quando x se aproxima de 4 pela esquerda.

Passo 2

Determinar o valor de \left|x^{2}-16\right| para x perto de 4 pela esquerda.
Para x<4 temos x^{2}<16, logo x^{2}-16<0. Portanto, para x próximo de 4 com x<4,
\left|x^{2}-16\right|=-(x^{2}-16)=16-x^{2}.
Repare que 16-x^{2} é um produto de diferenças de quadrados; podemos fatorar:
16-x^{2}=(4-x)(4+x).

Passo 3

Manipular o numerador (\sqrt{x}-2)^{2} usando o truque do conjugado (uma técnica comum para lidar com expressões com raiz).
Observação útil: (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})=4-x. Assim,
\sqrt{x}-2=-(2-\sqrt{x})=\,-\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}.
Elevando ao quadrado (o sinal menos some),
(\sqrt{x}-2)^{2}=(2-\sqrt{x})^{2}=\left(\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}\right)^{2}=\frac{(4-x)^{2}}{(2+\sqrt{x})^{2}}.

Passo 4

Substituir as expressões fatoradas no quociente e simplificar.
Usando as fórmulas dos passos anteriores, para x<4:
\frac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\left|x^{2}-16\right|} = \frac{\dfrac{(4-x)^{2}}{(2+\sqrt{x})^{2}}}{(4-x)(4+x)}.
Colocando tudo em uma fração só e cancelando um fator (4-x) (que é estritamente positivo para x<4):
\frac{(4-x)^{2}}{(2+\sqrt{x})^{2}}\cdot\frac{1}{(4-x)(4+x)} = \frac{4-x}{(2+\sqrt{x})^{2}(4+x)}.

Passo 5

Calcular o limite da expressão simplificada quando x\to 4^-.
Na expressão
\frac{4-x}{(2+\sqrt{x})^{2}(4+x)},
cada parte tem comportamento conhecido quando x\to 4:
  • 4-x\to 0^+ (positivo porque x<4);
  • 2+\sqrt{x}\to 2+\sqrt{4}=4, logo (2+\sqrt{x})^{2}\to 4^{2}=16;
  • 4+x\to 8.
Portanto o denominador tende a 16\cdot 8=128 (um número positivo fixo), enquanto o numerador tende a 0. Assim o quociente tende a
\frac{0}{128}=0.
Além disso a expressão é não negativa para x próximos de 4, então o limite é 0 vindo por valores não negativos.

Passo 6

Pequena explicação didática dos passos-chave (resumo e técnica útil para a prova).
  • Valor absoluto: para avaliar \left|f(x)\right| perto de um ponto, verifique o sinal de f(x) nesse entorno. Se f(x) é negativo ali, \left|f(x)\right|=-f(x); se é positivo, \left|f(x)\right|=f(x).
  • Fatoração diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui usamos 16-x^{2}=(4-x)(4+x).
  • Truque do conjugado: quando aparece \sqrt{x}-a que tende a 0, multiplicar por \sqrt{x}+a (no numerador e denominador) permite transformar uma expressão com raiz em polinomial e cancelar fatores (x-a^{2}). Exemplo rápido: para \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}, usar \sqrt{x}-1=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1} \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\to \dfrac{1}{2}.
  • Esses passos permitem cancelar o fator que vai a zero no numerador com um do denominador e avaliar o restante diretamente.

Resposta

0

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