Calcular o limite da expressão simplificada quando x\to 4^-.
Na expressão
\frac{4-x}{(2+\sqrt{x})^{2}(4+x)},
cada parte tem comportamento conhecido quando x\to 4:
4-x\to 0^+ (positivo porque x<4);
2+\sqrt{x}\to 2+\sqrt{4}=4, logo (2+\sqrt{x})^{2}\to 4^{2}=16;
4+x\to 8.
Portanto o denominador tende a 16\cdot 8=128 (um número positivo fixo), enquanto o numerador tende a 0. Assim o quociente tende a
\frac{0}{128}=0.
Além disso a expressão é não negativa para x próximos de 4, então o limite é 0 vindo por valores não negativos.
Passo 6
Pequena explicação didática dos passos-chave (resumo e técnica útil para a prova).
Valor absoluto: para avaliar \left|f(x)\right| perto de um ponto, verifique o sinal de f(x) nesse entorno. Se f(x) é negativo ali, \left|f(x)\right|=-f(x); se é positivo, \left|f(x)\right|=f(x).
Fatoração diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui usamos 16-x^{2}=(4-x)(4+x).
Truque do conjugado: quando aparece \sqrt{x}-a que tende a 0, multiplicar por \sqrt{x}+a (no numerador e denominador) permite transformar uma expressão com raiz em polinomial e cancelar fatores (x-a^{2}). Exemplo rápido: para \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}, usar \sqrt{x}-1=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1} dá \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\to \dfrac{1}{2}.
Esses passos permitem cancelar o fator que vai a zero no numerador com um do denominador e avaliar o restante diretamente.