Exercício 0.7 Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assinalando:
1h15min
Passo 1
O enunciado diz que o relógio marca 1 hora e 15 minutos. A pergunta é: calcule o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos nesse instante.
Informações dadas:
Hora: h=1.
Minutos: m=15.
O que precisa ser encontrado: o menor ângulo entre os dois ponteiros, em graus.
Passo 2
Como representar a posição dos ponteiros em ângulos medidos a partir do topo (marca das 12 horas)?
Explicação das fórmulas (essa é a parte que sempre cai na prova; decorando e entendendo fica fácil):
O ponteiro dos minutos percorre toda a volta (360^\circ) em 60 minutos. Logo, a cada minuto ele gira
\frac{360^\circ}{60}=6^\circ.
Se m é o número de minutos, o ângulo do ponteiro dos minutos em relação às 12 é
\theta_{\text{min}} = 6\,m.
Aqui \theta_{\text{min}} está em graus e m em minutos.
O ponteiro das horas percorre 360^\circ em 12 horas, ou seja, 30^\circ por hora. Mas ele também se desloca gradualmente conforme passam os minutos: em uma hora (60 minutos) ele anda 30^\circ, então por minuto anda
\frac{30^\circ}{60}=0{,}5^\circ.
Se h é a hora (no formato 1–12) e m os minutos, o ângulo do ponteiro das horas é
\theta_{\text{hora}} = 30\,h + 0{,}5\,m.
Novamente, \theta_{\text{hora}} em graus.
Passo 3
Calcular o ângulo do ponteiro dos minutos para m=15:
\theta_{\text{min}} = 6\cdot 15 = 90^\circ.
Passo 4
Calcular o ângulo do ponteiro das horas para h=1 e m=15: