Exercício 0.7 Calcule o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assinalando:
1h15min

Passo 1

O enunciado diz que o relógio marca 1 hora e 15 minutos. A pergunta é: calcule o menor ângulo formado entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos nesse instante.
Informações dadas:
  • Hora: h=1.
  • Minutos: m=15.
O que precisa ser encontrado: o menor ângulo entre os dois ponteiros, em graus.

Passo 2

Como representar a posição dos ponteiros em ângulos medidos a partir do topo (marca das 12 horas)?
Explicação das fórmulas (essa é a parte que sempre cai na prova; decorando e entendendo fica fácil):
  • O ponteiro dos minutos percorre toda a volta ( 360^\circ) em 60 minutos. Logo, a cada minuto ele gira
\frac{360^\circ}{60}=6^\circ.
Se m é o número de minutos, o ângulo do ponteiro dos minutos em relação às 12 é
\theta_{\text{min}} = 6\,m.
Aqui \theta_{\text{min}} está em graus e m em minutos.
  • O ponteiro das horas percorre 360^\circ em 12 horas, ou seja, 30^\circ por hora. Mas ele também se desloca gradualmente conforme passam os minutos: em uma hora (60 minutos) ele anda 30^\circ, então por minuto anda
\frac{30^\circ}{60}=0{,}5^\circ.
Se h é a hora (no formato 1–12) e m os minutos, o ângulo do ponteiro das horas é
\theta_{\text{hora}} = 30\,h + 0{,}5\,m.
Novamente, \theta_{\text{hora}} em graus.

Passo 3

Calcular o ângulo do ponteiro dos minutos para m=15:
\theta_{\text{min}} = 6\cdot 15 = 90^\circ.

Passo 4

Calcular o ângulo do ponteiro das horas para h=1 e m=15:
\theta_{\text{hora}} = 30\cdot 1 + 0{,}5\cdot 15 = 30 + 7{,}5 = 37{,}5^\circ.

Passo 5

Calcular a diferença angular absoluta entre os dois ponteiros:
\Delta = \bigl|\theta_{\text{min}} - \theta_{\text{hora}}\bigr| = \bigl|90 - 37{,}5\bigr| = 52{,}5^\circ.
Um parêntese importante: entre as duas possibilidades (ângulo direto \Delta e o suplementar 360^\circ-\Delta), o menor ângulo é
\min\bigl(\Delta,\;360^\circ-\Delta\bigr).
Aqui
360^\circ - 52{,}5^\circ = 307{,}5^\circ,
logo o menor ângulo é \Delta = 52{,}5^\circ.

Passo 6

Converter o resultado para graus e minutos (formato sexagesimal), se for útil na prova:
52{,}5^\circ = 52^\circ + 0{,}5^\circ.
Como 1^\circ = 60', tem-se
0{,}5^\circ = 0{,}5\times 60' = 30'.
Portanto
52{,}5^\circ = 52^\circ 30'.

Resposta

52{,}5^\circ
52^\circ 30'

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