Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\cos ^{4}\left(x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos^{4}\bigl(x^{4}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a regra da potência: vamos diferenciar uma função composta elevada a uma potência.

Passo 2

Definimos uma função intermediária
u(x)=\cos\bigl(x^{4}\bigr),
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{4}.
Pela regra da potência, a derivada de u^{4} em relação a x é
f'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x).

Passo 3

Agora, calculamos u'(x). Note que
u(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr) \quad\text{com}\quad v(x)=x^{4}.
Aplicando a regra da cadeia a u(x)=\cos(v) temos
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).
E como v'(x)=4x^{3}, fica
u'(x)=-\sin\bigl(x^{4}\bigr)\cdot 4x^{3}.

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) em
f'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x):
f'(x) =4\bigl(\cos(x^{4})\bigr)^{3}\!\times\bigl[-\sin(x^{4})\cdot 4x^{3}\bigr] =-16\,x^{3}\cos^{3}\bigl(x^{4}\bigr)\sin\bigl(x^{4}\bigr).

Resposta

f'(x)=-16\,x^{3}\cos^{3}\bigl(x^{4}\bigr)\sin\bigl(x^{4}\bigr).

Exercícios relacionados