Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=x^{2} \sin x \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{2}\sin x\cos x. Para resolver, vamos usar o conteúdo de derivadas de produto, regra da cadeia e a identidade trigonométrica que relaciona \sin x\cos x a \sin2x.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin x\cos x = \tfrac12\sin2x
para reescrever
f(x)=x^{2}\sin x\cos x = \tfrac12\,x^{2}\sin2x.

Passo 3

Definimos
g(x)=\tfrac12\,x^{2} \quad\text{e}\quad h(x)=\sin2x,
de modo que f(x)=g(x)\,h(x). Aplicando a regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de g e de h.
Para g(x)=\tfrac12\,x^{2} temos
g'(x)=\tfrac12\cdot2x = x.
Para h(x)=\sin2x usamos regra da cadeia: derivada de \sin u é \cos u vezes u'. Aqui u=2x, logo
h'(x)=\cos2x\cdot(2)=2\cos2x.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x), obtemos
f'(x) = x\cdot\sin2x + \bigl(\tfrac12\,x^{2}\bigr)\cdot\bigl(2\cos2x\bigr) = x\sin2x + x^{2}\cos2x.

Resposta

f'(x)=x\sin2x + x^{2}\cos2x.

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