Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{\left(3 x^{5}+4\right)^{33}}{x^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33}}{x^{3}}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto (ou quociente) e da regra da cadeia. Vamos reescrever f(x) de forma que facilite usar essas regras.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33}\,x^{-3}.
Assim temos um produto de duas funções: u(x)=\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33} e v(x)=x^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Para u'(x) usamos a regra da cadeia: a derivada de \bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33} é
33\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}\cdot\frac{d}{dx}(3x^{5}+4) =33\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}\cdot 15x^{4} =495\,x^{4}\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}.
E para v'(x) temos
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{-3})=-3\,x^{-4}.

Passo 4

Substituindo na regra do produto:
f'(x) =495\,x^{4}\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}\,x^{-3} \;+\;\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33}\,(-3)\,x^{-4}.
Isso é
f'(x) =495\,x^{1}\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32} -3\,x^{-4}\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{33}.

Passo 5

Fatoramos \bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}x^{-4}:
f'(x) =\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}x^{-4}\Bigl[495\,x^{5}-3\bigl(3x^{5}+4\bigr)\Bigr].
No colchete:
495\,x^{5}-9x^{5}-12 =486\,x^{5}-12 =6\bigl(81x^{5}-2\bigr).
Logo,

Resposta

f'(x) =6\,\bigl(3x^{5}+4\bigr)^{32}\,x^{-4}\,\bigl(81x^{5}-2\bigr).

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