Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin ^{11} x \cos ^{17} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin^{11}x\;\cos^{17}x}
O conteúdo aqui é derivada de produto e cadeia. Vamos reescrever f como produto de potências para usar essas regras.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=x^{2}\,\sin^{-11}x\,\cos^{-17}x
usamos a regra do produto em dois fatores: u(x)=x^{2} e v(x)=\sin^{-11}x\,\cos^{-17}x. Então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x)=2x. Falta v'(x).

Passo 3

Para derivar
v(x)=\sin^{-11}x\;\cos^{-17}x
aplicamos de novo produto:
v'(x)=\sin^{-11}x\cdot\frac{d}{dx}(\cos^{-17}x) +\cos^{-17}x\cdot\frac{d}{dx}(\sin^{-11}x).
Usando cadeia:
\frac{d}{dx}(\sin^{-11}x)=-11\,\sin^{-12}x\cos x, \quad \frac{d}{dx}(\cos^{-17}x)=-17\,\cos^{-18}x(-\sin x)=17\,\sin x\,\cos^{-18}x.
Logo
v'(x) =17\,\sin^{-10}x\,\cos^{-18}x -11\,\sin^{-12}x\,\cos^{-16}x.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=2x\,\sin^{-11}x\,\cos^{-17}x +x^{2}\Bigl(17\,\sin^{-10}x\,\cos^{-18}x -11\,\sin^{-12}x\,\cos^{-16}x\Bigr).

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x\,\sin^{-12}x\,\cos^{-18}x:
f'(x) =x\,\sin^{-12}x\,\cos^{-18}x \Bigl[2\,\sin x\,\cos x +x\,(17\,\sin^{2}x-11\,\cos^{2}x)\Bigr].

Resposta

f'(x) =\frac{x\bigl(2\,\sin x\,\cos x +x\,(17\,\sin^{2}x-11\,\cos^{2}x)\bigr)} {\sin^{12}x\;\cos^{18}x}.

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