Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{1}{\sin \left(x^{2}-\sin x\right)}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{1}{\sin\bigl(x^{2}-\sin x\bigr)}.
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia em duas camadas: primeiro para a função g(u)=1/\sin u e depois para o “interno” u(x)=x^{2}-\sin x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{2} - \sin x,
de modo que
f(x) = \bigl[\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr]^{-1}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Usando que \frac{d}{dx}x^{2}=2x e \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, obtemos
u'(x)=2x - \cos x.

Passo 4

Agora derivamos f(x)=\bigl[\sin(u)\bigr]^{-1}. Primeiro note que, se h(v)=v^{-1}, então h'(v)=-v^{-2}. Além disso, \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u(x))\bigr]^{-1} = -\bigl[\sin(u(x))\bigr]^{-2}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u(x))\bigr].
E
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u(x))\bigr] = \cos\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x).

Passo 5

Substituindo u'(x) e simplificando, ficamos com
f'(x) = -\bigl[\sin(u(x))\bigr]^{-2}\;\cos\bigl(u(x)\bigr)\;\bigl(2x-\cos x\bigr).
Voltando a u(x)=x^{2}-\sin x,
f'(x) = -\frac{\bigl(2x - \cos x\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}-\sin x\bigr)} {\sin^{2}\bigl(x^{2}-\sin x\bigr)}.

Resposta

f'(x) = -\frac{\bigl(2x - \cos x\bigr)\,\cos\bigl(x^{2}-\sin x\bigr)} {\sin^{2}\bigl(x^{2}-\sin x\bigr)}.

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