Exercício 1.6.3. Calcule as seguintes integrais:
Ig=integral cosec(2 x) cotg(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ig=integral csc(2x),cot(2x),dx
O conteúdo usado aqui é integral de funções trigonométricas compostas, aplicando a substituição u-sub e a fórmula da derivada de csc u, que é
ddul(csc ur)=-csc u,cot u

Passo 2

Fazemos a substituição típica para tratar o argumento composto:
u = 2x Longrightarrow du = 2,dx Longrightarrow dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
Ig = integral csc(u),cot(u),du2 = 12 integral csc(u),cot(u),du

Passo 4

Agora usamos a primitiva conhecida
integral csc(u),cot(u),du = -csc(u) + C
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12 integral csc(u),cot(u),du = -12 csc(u) + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=2x, a resposta final é
Ig = -12,csc(2x) + C

Resposta

Ig = -tfrac12,csc(2x) + C

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