a) Seja P uma função matricial derivável. Demonstrar que as derivadas de P^2 e P^3 vem dadas pelas fórmulas
(P^2)^prime=P P^prime+P^prime P, (P^3)^prime=P^2 P^prime+P P^prime P+P^prime P^2
b) Enunciar uma fórmula geral para a derivada de P^k e demonstra-la por indução.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de potências de uma função matricial diferenciável P(t) usando a regra do produto em matrizes. Vamos precisar lembrar que, em geral, produto de matrizes não comuta e que a regra do produto vale exatamente como em escalares:
ddt(AB)=A',B + A,B'

Passo 2

Para ;P^2 = Pcdot P; aplicamos a regra do produto:
l(P^2r)' = ddt(Pcdot P) = P',P + P,P'

Passo 3

Para ;P^3 = Pcdot P^2; usamos primeiro a regra do produto em Pcdot P^2 e, em seguida, substituímos l(P^2r)' do passo anterior:
l(P^3r)' = ddt(Pcdot P^2) = P',P^2 + P,l(P^2r)' = P',P^2 + P,(P',P + P,P')
l(P^3r)' = P',P^2 + P^2,P' + P,P',P,
que é exatamente
l(P^3r)' = P^2,P' + P,P',P + P',P^2

Passo 4

Pelo padrão observado em k=2 e k=3, enunciamos a fórmula geral:
ddtl(P^kr) = sumi=0^k-1 P^i,P',P^,k-1-i

Passo 5

Demonstração por indução em k.
Base k=1:
ddt(P^1)=P' = sumi=0^0P^i,P',P^0-i = P^0,P',P^0 = P'

Passo 6

Suponha que valha para k:
ddt(P^k)=sumi=0^k-1P^i,P',P^k-1-i
Então, para k+1:
ddt(P^k+1) = ddt(Pcdot P^k) = P',P^k + P,ddt(P^k) = P',P^k + Psumi=0^k-1P^i,P',P^k-1-i
ddt(P^k+1) = P^0P',P^k + sumi=0^k-1P^i+1P',P^k-1-i = sumj=0^kP^j,P',P^k-j,
o que completa a indução.

Resposta

(a) (P^2)'=P,P'+P',P,
(P^3)'=P^2,P'+P,P',P+P',P^2.
(b) Para todo inteiro k>=1,
ddtl(P^kr) =sumi=0^k-1P^i,P',P^,k-1-i

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