a) Seja
uma função matricial derivável. Demonstrar que as derivadas de
e
vem dadas pelas fórmulas
b) Enunciar uma fórmula geral para a derivada de
e demonstra-la por indução.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas de potências de uma função matricial diferenciável
usando a regra do produto em matrizes. Vamos precisar lembrar que, em geral, produto de matrizes não comuta e que a regra do produto vale exatamente como em escalares:
Passo 2
Para
aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Para
usamos primeiro a regra do produto em
e, em seguida, substituímos
do passo anterior:
que é exatamente
Passo 4
Pelo padrão observado em
e
, enunciamos a fórmula geral:
Passo 5
Demonstração por indução em
.
Base
:
Passo 6
Suponha que valha para
:
Então, para
:
o que completa a indução.
Resposta
(a)
,
.
(b) Para todo inteiro
,