Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
5 d y+y d x=0;

Passo 1

O enunciado pede resolver por separação de variáveis a equação diferencial de primeira ordem
5,dy + y,dx = 0
Isso significa que podemos manipular a equação de forma a colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Começamos isolando dy sobre dx. Dividindo a equação por dx e rearranjando, obtemos
5,dydx + y = 0 Longrightarrow 5,dy = -,y,dx Longrightarrow dyy = -dx5

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral 1y,dy = integral -15,dx
resultando em
lnlvert yrvert = -x5 + C1,
onde C1 é a constante de integração.

Passo 4

Elevando exponencialmente ambos os lados para isolar y, temos
lvert yrvert = e^-tfracx5 + C1 = e^C1,e^-tfracx5
Como e^C1 é apenas uma constante positiva, chamamos C = pm e^C1 e obtemos a solução geral
y = C,e^-tfracx5,
onde C é constante arbitrária (podendo ser zero para a solução trivial).

Resposta

A solução geral da equação é
y = C,e^-tfracx5,
com C constante de integração.

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