Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
\int \mathrm{r} \mathrm{e}^{\mathrm{r} / 3} \mathrm{dr}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida)
\int r e^{r/3}\,dr.
Informações dadas:
  • A variável de integração é r.
  • O integrando é o produto de r por e^{r/3}.
  • Queremos uma antiderivada simples e correta, mais a constante de integração.

Passo 2

Ideia inicial para simplificar: a presença de e^{r/3} sugere fazer uma substituição que elimine o denominador 3 no expoente. Seja a substituição
u=\frac{r}{3}.
Então
r=3u\qquad\text{e}\qquad dr=3\,du.
Substituindo na integral:
\int r e^{r/3}\,dr = \int (3u) e^{u} (3\,du) = 9\int u e^{u}\,du.
Agora reduzimos o problema a calcular \int u e^{u}\,du.

Passo 3

Técnica a usar agora: integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê de escolhê-la.
Fórmula de integração por partes (uma “fórmula-irmã” da regra do produto): se U e V são funções de uma variável, então
\int U\,dV = UV - \int V\,dU.
Aqui U é uma função cuja derivada dU é simples, e dV é uma diferencial que podemos integrar facilmente para obter V.
No nosso caso, para \int u e^{u}\,du a escolha natural é
U = u,\qquad dV = e^{u}\,du.
Então
dU = du,\qquad V = \int e^{u}\,du = e^{u}.
Aplicando a fórmula:
\int u e^{u}\,du = U V - \int V\,dU = u e^{u} - \int e^{u}\,du.
A integral restante é direta:
\int e^{u}\,du = e^{u},
portanto
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1) + C.

Passo 4

Voltando à integral original: lembrando que tínhamos um fator 9,
9\int u e^{u}\,du = 9\bigl(e^{u}(u-1)\bigr) + C = 9e^{u}(u-1) + C.
Substituindo u=\dfrac{r}{3}:
9e^{r/3}\!\left(\frac{r}{3}-1\right)+C.
Fazendo álgebra para simplificar:
9e^{r/3}\left(\frac{r}{3}-1\right) = 9e^{r/3}\cdot\frac{r-3}{3} = 3e^{r/3}(r-3).
Assim uma forma mais compacta da primitiva é
3e^{r/3}(r-3)+C.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando 3e^{r/3}(r-3) com relação a r,
\frac{d}{dr}\bigl(3e^{r/3}(r-3)\bigr) =3\left(e^{r/3}\cdot\frac{1}{3}(r-3) + e^{r/3}\cdot 1\right) =(r-3)e^{r/3}+3e^{r/3}=r e^{r/3},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Dica alternativa rápida (para fazer direto na prova): poderia-se aplicar integração por partes direto em \int r e^{r/3}\,dr escolhendo U=r e dV=e^{r/3}dr; ao integrar dV aparece um fator 3 e chega-se ao mesmo resultado mais diretamente. Mas o caminho com a substituição deixa os cálculos bem limpos.

Resposta

3e^{r/3}(r-3)+C

Exercícios relacionados