Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integração indefinida)
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
por . - Queremos uma antiderivada simples e correta, mais a constante de integração.
Passo 2
Ideia inicial para simplificar: a presença de
sugere fazer uma substituição que elimine o denominador
no expoente. Seja a substituição
Então
Substituindo na integral:
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 3
Técnica a usar agora: integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê de escolhê-la.
Fórmula de integração por partes (uma “fórmula-irmã” da regra do produto): se
e
são funções de uma variável, então
Aqui
é uma função cuja derivada
é simples, e
é uma diferencial que podemos integrar facilmente para obter
.
No nosso caso, para
a escolha natural é
Então
Aplicando a fórmula:
A integral restante é direta:
portanto
Passo 4
Voltando à integral original: lembrando que tínhamos um fator
,
Substituindo
:
Fazendo álgebra para simplificar:
Assim uma forma mais compacta da primitiva é
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando
com relação a
,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Dica alternativa rápida (para fazer direto na prova): poderia-se aplicar integração por partes direto em
escolhendo
e
; ao integrar
aparece um fator
e chega-se ao mesmo resultado mais diretamente. Mas o caminho com a substituição deixa os cálculos bem limpos.