Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando a regra da substituição:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A incógnita de integração é
.
O que se pede: - Encontrar uma primitiva (antiderivada) de
, isto é, uma expressão tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Ideia da técnica (regra da substituição), explicada de forma didática e sem pular etapas.
Regra da substituição (em palavras simples): quando a integranda tem a forma de uma função composta multiplicada pela derivada do interior, isto é, algo como
, podemos simplificar definindo uma nova variável
. A integral em
transforma-se em uma integral em
, que costuma ser mais simples.
Formalmente, se fizermos a substituição
então
Em particular, se a integranda for
, então
Dicas práticas para identificar a substituição:
- Procure uma expressão interna elevada a uma potência (aqui
) e verifique se o resto do integrando é proporcional à derivada dessa expressão interna. - A derivada de
é , que aparece multiplicando . Isso é um sinal claro de que a substituição funciona bem.
Passo 3
Aplicar a substituição escolhida.
Escolho
Calculo o diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Portanto,
Agora substituo na integral original. A parte
torna-se
e
torna-se
. Logo:
Passo 4
Calcular a integral em
usando a regra da potência para integrais.
Regra da potência para integrais: para
,
Aqui
. Aplicando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável original
(retro-substituição).
Substituo
de volta:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança na resposta).
Derivo
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Observações finais e incentivo rápido: essa integral é um caso clássico onde a substituição é quase imediata — procure sempre no integrando por uma parte cuja derivada também aparece multiplicando. Isso poupa tempo na prova e evita expandir potências desnecessariamente. Você mandou bem vindo a esse tipo de padrão — pratica mais dois ou três exemplos assim que pega o jeito!