Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int 2 x\left(x^{2}+3\right)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando a regra da substituição:
\int 2 x\left(x^{2}+3\right)^{4}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 2x\,(x^{2}+3)^{4}.
  • A incógnita de integração é x.
    O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (antiderivada) de 2x\,(x^{2}+3)^{4}, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=2x\,(x^{2}+3)^{4}, mais a constante de integração.

Passo 2

Ideia da técnica (regra da substituição), explicada de forma didática e sem pular etapas.
Regra da substituição (em palavras simples): quando a integranda tem a forma de uma função composta multiplicada pela derivada do interior, isto é, algo como f(g(x))\cdot g'(x), podemos simplificar definindo uma nova variável u=g(x). A integral em x transforma-se em uma integral em u, que costuma ser mais simples.
Formalmente, se fizermos a substituição
u=g(x),
então
du=g'(x)\,dx.
Em particular, se a integranda for f(g(x))g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Dicas práticas para identificar a substituição:
  • Procure uma expressão interna elevada a uma potência (aqui (x^{2}+3)^{4}) e verifique se o resto do integrando é proporcional à derivada dessa expressão interna.
  • A derivada de x^{2}+3 é 2x, que aparece multiplicando (x^{2}+3)^{4}. Isso é um sinal claro de que a substituição u=x^{2}+3 funciona bem.

Passo 3

Aplicar a substituição escolhida.
Escolho
u = x^{2}+3.
Calculo o diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3\bigr)\,dx = 2x\,dx.
Portanto,
2x\,dx = du.
Agora substituo na integral original. A parte (x^{2}+3)^{4} torna-se u^{4} e 2x\,dx torna-se du. Logo:
\int 2 x\left(x^{2}+3\right)^{4}\,dx = \int u^{4}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u usando a regra da potência para integrais.
Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4. Aplicando:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável original x (retro-substituição).
Substituo u = x^{2}+3 de volta:
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{5}}{5} + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ter confiança na resposta).
Derivo F(x)=\dfrac{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{5}}{5} usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5\bigl(x^{2}+3\bigr)^{4}\cdot(2x)=2x\bigl(x^{2}+3\bigr)^{4},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Observações finais e incentivo rápido: essa integral é um caso clássico onde a substituição é quase imediata — procure sempre no integrando por uma parte cuja derivada também aparece multiplicando. Isso poupa tempo na prova e evita expandir potências desnecessariamente. Você mandou bem vindo a esse tipo de padrão — pratica mais dois ou três exemplos assim que pega o jeito!

Resposta

\dfrac{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{5}}{5}+C

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