Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
multiplicada por . - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida).
Passo 2
Primeira observação útil (identidade trigonométrica): a função
pode ser escrita em termos de
e
. Usamos a identidade
Substituindo isso na integral obtemos
Ou seja,
Passo 3
Agora escolhemos uma substituição natural: definir a variável
Explico o porquê: a exponencial tem
no expoente, e
aparece multiplicando, então a derivada de
envolve
, o que facilita a troca de variável.
Calculemos o diferencial:
Daqui isolamos
:
Passo 4
Substituímos na integral usando
e
. Lembre que já tínhamos um fator
e um fator
extra:
Substituindo
e
obtemos
Portanto o problema reduziu-se a calcular
.
Passo 5
Agora aplicamos a técnica de integração por partes para
. Vou lembrar a fórmula de integração por partes e explicar: se temos duas funções
e
, então
Aqui é conveniente escolher
Então
e
(pois a primitiva de
é
).
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando ao fator
que tínhamos:
Fatorando
:
Agora substituímos
de volta:
Adicionamos a constante de integração
.