Exercício 7. Calcule as seguintes integrais utilizando uma ou ambas as técnicas de integração:
\int e^{\cos (\mathrm{t})} \operatorname{sen}(2 \mathrm{t}) \mathrm{dt}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{\cos(t)} \operatorname{sen}(2t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é e^{\cos(t)} multiplicada por \operatorname{sen}(2t).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida).

Passo 2

Primeira observação útil (identidade trigonométrica): a função \operatorname{sen}(2t) pode ser escrita em termos de \operatorname{sen}(t) e \cos(t). Usamos a identidade
\operatorname{sen}(2t)=2\operatorname{sen}(t)\cos(t).
Substituindo isso na integral obtemos
\int e^{\cos(t)}\operatorname{sen}(2t)\,dt=\int e^{\cos(t)}\bigl(2\operatorname{sen}(t)\cos(t)\bigr)\,dt.
Ou seja,
\int e^{\cos(t)}\operatorname{sen}(2t)\,dt=2\int e^{\cos(t)}\operatorname{sen}(t)\cos(t)\,dt.

Passo 3

Agora escolhemos uma substituição natural: definir a variável
u=\cos(t).
Explico o porquê: a exponencial tem \cos(t) no expoente, e \operatorname{sen}(t)\,dt aparece multiplicando, então a derivada de \cos(t) envolve \operatorname{sen}(t)\,dt, o que facilita a troca de variável.
Calculemos o diferencial:
du=\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr)\,dt=-\operatorname{sen}(t)\,dt.
Daqui isolamos \operatorname{sen}(t)\,dt:
\operatorname{sen}(t)\,dt=-du.

Passo 4

Substituímos na integral usando u=\cos(t) e \operatorname{sen}(t)\,dt=-du. Lembre que já tínhamos um fator 2 e um fator \cos(t) extra:
2\int e^{\cos(t)}\operatorname{sen}(t)\cos(t)\,dt =2\int e^{u}\cdot \cos(t)\cdot\operatorname{sen}(t)\,dt.
Substituindo \operatorname{sen}(t)\,dt=-du e \cos(t)=u obtemos
2\int e^{u}\cdot u\cdot(-du)=-2\int u e^{u}\,du.
Portanto o problema reduziu-se a calcular -2\int u e^{u}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a técnica de integração por partes para \int u e^{u}\,du. Vou lembrar a fórmula de integração por partes e explicar: se temos duas funções v(u) e w'(u), então
\int v(u)w'(u)\,du = v(u)w(u)-\int v'(u)w(u)\,du.
Aqui é conveniente escolher
v(u)=u,\qquad w'(u)=e^{u}.
Então v'(u)=1 e w(u)=e^{u} (pois a primitiva de e^{u} é e^{u}).
Aplicando a fórmula:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int 1\cdot e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C.

Passo 6

Voltando ao fator -2 que tínhamos:
-2\int u e^{u}\,du = -2\bigl(u e^{u} - e^{u}\bigr) + C.
Fatorando e^{u}:
-2\bigl(u e^{u} - e^{u}\bigr) = -2e^{u}(u-1)=2e^{u}(1-u).
Agora substituímos u=\cos(t) de volta:
2e^{u}(1-u)=2e^{\cos(t)}\bigl(1-\cos(t)\bigr).
Adicionamos a constante de integração +C.

Resposta

2 e^{\cos(t)}\bigl(1-\cos(t)\bigr)+C

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