e pede: determinar os valores de a e b tais que h é contínua. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,1.\, A função é definida por três ramos: polinomial no ramo esquerdo, combinação de funções trigonométricas no ramo do meio, e constante no ramo direito. \n \,2.\, Pontos onde pode haver descontinuidade são as fronteiras entre os ramos: x=0 e x=\pi/2. \n \,3.\, Precisamos encontrar a e b de modo que h seja contínua em toda a reta — isto é, em particular em x=0 e em x=\pi/2.]
Passo 2
Recordando o conceito de continuidade em um ponto c: a função h é contínua em c se, e somente se,
Explicando com calma: isso significa que o valor que a função toma em c tem que coincidir com o limite vindo da esquerda e com o limite vindo da direita. \n
Observação prática para este problema: cada ramo isolado é composto por funções contínuas (polinômio, \sin, \cos, constante), então não há problema dentro dos intervalos abertos. Só precisamos impor as condições de continuidade em x=0 e em x=\pi/2, porque aí os ramos se encontram.
Passo 3
Condição de continuidade em x=0. Primeiro calcule o valor de h em 0. Como o ramo esquerdo vale para x\le 0, temos
h(0)=0^{4}+a+1=a+1.
Agora calcule o limite pela direita em 0: usando o ramo do meio,
Usando \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 e \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 obtemos
h\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=b\cdot 1 -2a\cdot 0 = b.
O limite pela direita em \pi/2 vem do ramo constante:
\lim_{x\to (\pi/2)^+} h(x)=2b-3.
Para continuidade em \pi/2 precisamos que
b = 2b-3.
Passo 6
Resolva a equação para b:
b = 2b-3 \Longrightarrow b-2b=-3 \Longrightarrow -b=-3 \Longrightarrow b=3.
Ótimo — encontramos b=3.
Passo 7
Verificação final (pra ficar seguro): substituímos os valores encontrados. \n
Em x=0: h(0)=a+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}. O limite direito foi -2a=-2\big(-\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{2}{3}. Coincidem, então h é contínua em 0. \n
Em x=\pi/2: o valor à esquerda é b=3 e o valor à direita é 2b-3=2\cdot 3-3=3. Coincidem, então h é contínua em \pi/2. \n
Como os três ramos são contínuos internamente e as junções estão resolvidas, h é contínua em toda a reta para os valores encontrados.