Exercício 2. Considere
h(x)=\left\{\begin{array}{lr} x^{4}+a+1, & \text { se } x \leq 0 \\\ b \operatorname{sen} x-2 a \cos x, & \text { se } 0<x \leq \pi / 2 \\\\ 2 b-3, & \text { se } x>\pi / 2 \end{array}\right.
Determine os valores de a e b tais que h é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x)=\begin{cases} x^{4}+a+1, & \text{se } x \le 0,\\[4pt] b\sin x-2a\cos x, & \text{se } 0<x\le \pi/2,\\[4pt] 2b-3, & \text{se } x>\pi/2, \end{cases}
e pede: determinar os valores de a e b tais que h é contínua. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,1.\, A função é definida por três ramos: polinomial no ramo esquerdo, combinação de funções trigonométricas no ramo do meio, e constante no ramo direito. \n
\,2.\, Pontos onde pode haver descontinuidade são as fronteiras entre os ramos: x=0 e x=\pi/2. \n
\,3.\, Precisamos encontrar a e b de modo que h seja contínua em toda a reta — isto é, em particular em x=0 e em x=\pi/2.]

Passo 2

Recordando o conceito de continuidade em um ponto c: a função h é contínua em c se, e somente se,
\lim_{x\to c^-} h(x)=\lim_{x\to c^+} h(x)=h\text{(c)}.
Explicando com calma: isso significa que o valor que a função toma em c tem que coincidir com o limite vindo da esquerda e com o limite vindo da direita. \n
Observação prática para este problema: cada ramo isolado é composto por funções contínuas (polinômio, \sin, \cos, constante), então não há problema dentro dos intervalos abertos. Só precisamos impor as condições de continuidade em x=0 e em x=\pi/2, porque aí os ramos se encontram.

Passo 3

Condição de continuidade em x=0. Primeiro calcule o valor de h em 0. Como o ramo esquerdo vale para x\le 0, temos
h(0)=0^{4}+a+1=a+1.
Agora calcule o limite pela direita em 0: usando o ramo do meio,
\lim_{x\to 0^+} h(x)=\lim_{x\to 0^+}\big(b\sin x-2a\cos x\big).
Usamos as propriedades conhecidas dos limites das funções trigonométricas: \lim_{x\to 0}\sin x=0 e \lim_{x\to 0}\cos x=1. Então
\lim_{x\to 0^+} h(x)=b\cdot 0 -2a\cdot 1 = -2a.
Para continuidade em 0 precisamos que h(0)=\lim_{x\to 0^+} h(x), isto é
a+1 = -2a.

Passo 4

Resolva a equação obtida para a:
a+1=-2a \Longrightarrow a+2a=-1 \Longrightarrow 3a=-1 \Longrightarrow a=-\frac{1}{3}.
Comentário amigável: achei esse passo direto — é só juntar termos semelhantes e dividir. Anote a=-\tfrac{1}{3} para usar na verificação posterior.

Passo 5

Condição de continuidade em x=\pi/2. Primeiro o valor de h em x=\pi/2. Repare que o ramo do meio é definido até x=\pi/2 (inclusive), então
h\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=b\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-2a\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big).
Usando \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 e \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 obtemos
h\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=b\cdot 1 -2a\cdot 0 = b.
O limite pela direita em \pi/2 vem do ramo constante:
\lim_{x\to (\pi/2)^+} h(x)=2b-3.
Para continuidade em \pi/2 precisamos que
b = 2b-3.

Passo 6

Resolva a equação para b:
b = 2b-3 \Longrightarrow b-2b=-3 \Longrightarrow -b=-3 \Longrightarrow b=3.
Ótimo — encontramos b=3.

Passo 7

Verificação final (pra ficar seguro): substituímos os valores encontrados. \n
Em x=0: h(0)=a+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}. O limite direito foi -2a=-2\big(-\tfrac{1}{3}\big)=\tfrac{2}{3}. Coincidem, então h é contínua em 0. \n
Em x=\pi/2: o valor à esquerda é b=3 e o valor à direita é 2b-3=2\cdot 3-3=3. Coincidem, então h é contínua em \pi/2. \n
Como os três ramos são contínuos internamente e as junções estão resolvidas, h é contínua em toda a reta para os valores encontrados.

Resposta

a=-\dfrac{1}{3} \n
b=3

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