Exercício 0.9 Calcule
“(\sqrt{3}-i)^{100}”.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=\sqrt{3}-i e pede para calcular z^{100}.
Informações úteis fornecidas:
  • O número complexo é z=\sqrt{3}-i.
  • O objetivo é encontrar (\sqrt{3}-i)^{100}.

Passo 2

Calcular o módulo de z. O módulo de um complexo x+iy é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui x=\sqrt{3} e y=-1. Então
|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Calcular o argumento de z. O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{y}{x}. Assim
\tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Conhecemos que \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}. Como x>0 e y<0, o ponto está no quarto quadrante, portanto o argumento é
\theta=-\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Escrever z em forma polar (forma trigonométrica). A forma polar é z=r(\cos\theta+i\sin\theta), onde r=|z| e \theta=\arg z. Então
z=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).

Passo 5

Usar a fórmula de De Moivre: para r(\cos\theta+i\sin\theta) vale
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aplicando com r=2, \theta=-\dfrac{\pi}{6} e n=100,
z^{100}=2^{100}\left(\cos\left(-\frac{100\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{100\pi}{6}\right)\right).

Passo 6

Simplificar o ângulo. Primeiro simplificar a fração:
\frac{100\pi}{6}=\frac{50\pi}{3}.
Como as funções trigonométricas são 2\pi-periódicas, podemos reduzir o ângulo módulo 2\pi. Escrevendo em terços de \pi: 2\pi=\dfrac{6\pi}{3}. O resto de 50 ao dividir por 6 é 2 (pois 50=6\cdot8+2), logo
-\frac{50\pi}{3}\equiv -\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}.
Portanto
z^{100}=2^{100}\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right).

Passo 7

Calcular \cos e \sin do ângulo reduzido. Sabemos que \cos é par e \sin é ímpar, e os valores para \dfrac{2\pi}{3} são \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2} e \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}, \qquad \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Substituir esses valores em z^{100} e simplificar fatorando potências de 2:
z^{100}=2^{100}\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2^{99}-i\,2^{99}\sqrt{3}.

Passo 9

Checagem rápida (consistência): o módulo de z^{100} deve ser |z|^{100}=2^{100}. Calculando a magnitude do resultado obtido:
\sqrt{\bigl(-2^{99}\bigr)^{2}+\bigl(-2^{99}\sqrt{3}\bigr)^{2}} =2^{99}\sqrt{1+3}=2^{99}\cdot 2=2^{100},
confirma que está consistente.

Resposta

-2^{99}-i\,2^{99}\sqrt{3}

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