Exercício 0.9 Calcule
“(\sqrt{3}-i)^{100}”.
“(\sqrt{3}-i)^{100}”.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
.
Informações úteis fornecidas:
Informações úteis fornecidas:
- O número complexo é
. - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Calcular o módulo de
. O módulo de um complexo
é
. Aqui
e
. Então
Passo 3
Calcular o argumento de
. O argumento
satisfaz
. Assim
Conhecemos que
. Como
e
, o ponto está no quarto quadrante, portanto o argumento é
Passo 4
Escrever
em forma polar (forma trigonométrica). A forma polar é
, onde
e
. Então
Passo 5
Usar a fórmula de De Moivre: para
vale
Aplicando com
,
e
,
Passo 6
Simplificar o ângulo. Primeiro simplificar a fração:
Como as funções trigonométricas são
-periódicas, podemos reduzir o ângulo módulo
. Escrevendo em terços de
:
. O resto de
ao dividir por
é
(pois
), logo
Portanto
Passo 7
Calcular
e
do ângulo reduzido. Sabemos que
é par e
é ímpar, e os valores para
são
e
. Assim
Passo 8
Substituir esses valores em
e simplificar fatorando potências de 2:
Passo 9
Checagem rápida (consistência): o módulo de
deve ser
. Calculando a magnitude do resultado obtido:
confirma que está consistente.