Exercício 5. Calcule todas as raízes n-ésimas abaixo:
(d) \sqrt[3]{-8 i}

Passo 1

O enunciado pede todas as raízes cúbicas de -8i. Vamos usar números complexos em forma polar e aplicar a fórmula das raízes n-ésimas (De Moivre).

Passo 2

Escrevemos -8i em forma polar. O módulo é
r = \bigl|-8i\bigr| = 8
e um argumento principal é
\theta = \arg(-8i) = -\frac{\pi}{2}.

Passo 3

A fórmula para as n-ésimas raízes de um número complexo r\,\cis(\theta) é
z_k = r^{1/n} \,\cis\!\Bigl(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\Bigr), \quad k = 0,1,\dots,n-1.
Aqui n=3.

Passo 4

Calculamos r^{1/3} = 8^{1/3} = 2 e os argumentos
\frac{\theta + 2\pi k}{3} = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k=0,1,2.
Logo as raízes em forma trigonométrica são
z_k = 2 \,\cis\!\Bigl(-\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi k}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2.

Passo 5

Convertendo para a + bi, obtemos:
Para k=0:
z_0 = 2\cis\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) =2\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr) =\sqrt{3}-i.
Para k=1:
z_1 = 2\cis\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =2i.
Para k=2:
z_2 = 2\cis\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) =2\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{6}+i\sin\tfrac{7\pi}{6}\bigr) =-\sqrt{3}-i.

Resposta

\sqrt[3]{-8i}=\bigl\{\sqrt{3}-i,\;2i,\;-\sqrt{3}-i\bigr\}

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