Exercício 6. Determine três números complexos distintos tais que z^{3}=4 i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os complexos z tais que
z^{3} = 4\,i.
O conteúdo aqui é extração de raízes complexas: vamos usar a forma polar para representar 4i e depois aplicar a fórmula geral das raízes de uma potência.

Passo 2

Escrevemos 4i em forma polar. O módulo é
|4i| = 4
e um argumento principal é
\arg(4i) = \tfrac{\pi}{2}.
Em geral, podemos escrever
4i = 4\,e^{i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi m\bigr)},
com m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Se z = r\,e^{i\theta} satisfaz z^{3}=4\,i, então
r^{3} = 4 \quad\text{e}\quad 3\theta = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi m.
Da primeira equação vem
r = \sqrt[\,3]{4}.
Da segunda,
\theta = \frac{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi m}{3}.

Passo 4

Como queremos três raízes distintas, tomamos m=0,1,2. Assim:
\theta_{0} = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}, \quad \theta_{1} = \frac{\pi/2 + 2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}, \quad \theta_{2} = \frac{\pi/2 + 4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}.
Logo as raízes são
z_{k} = \sqrt[\,3]{4}\;e^{i\theta_{k}},\quad k=0,1,2.
Convertendo para a+bi:
z_{0} = \sqrt[\,3]{4}\biggl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\biggr) = \sqrt[\,3]{4}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{i}{2}\Bigr),
z_{1} = \sqrt[\,3]{4}\biggl(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\biggr) = \sqrt[\,3]{4}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{i}{2}\Bigr),
z_{2} = \sqrt[\,3]{4}\biggl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\biggr) = \sqrt[\,3]{4}\bigl(0 - i\bigr) = -\,i\,\sqrt[\,3]{4}.

Resposta

\displaystyle z_{0} = \sqrt[\,3]{4}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{i}{2}\Bigr), \displaystyle z_{1} = \sqrt[\,3]{4}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{i}{2}\Bigr), \displaystyle z_{2} = -\,i\,\sqrt[\,3]{4}.

Exercícios relacionados