Exercício 3. Calcule a transformada inversa de Laplace das funções abaixo.
1(s+1)(s+b)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=1(s+1)(s+b). O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace e vamos precisar usar decomposição em frações parciais (assumindo que b neq 1).

Passo 2

Vamos escrever F(s) como soma de termos simples:

Passo 3

1(s+1)(s+b)=As+1+Bs+b

Passo 4

Para achar A e B), usamos o método de valores especiais: avaliando em s=-1 e s=-b:
  • Em s=-1: 1=A(-1+b) então A=tfrac1b-1.
  • Em s=-b: 1=B(-b+1) então B=tfrac11-b=-tfrac1b-1.
    Portanto

Passo 5

1(s+1)(s+b)=1b-1l(1s+1-1s+br)

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada fração simples. Sabemos que:
  • L^-1tfrac1s+1=e^-t
  • L^-1tfrac1s+b=e^-bt
    Então juntando:

Passo 7

f(t)=1b-1l(e^-t-e^-btr)

Resposta

f(t)=e^-t-e^-btb-1

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