Exercício 7. Utilizando convolução, encontre as inversas.
1(s-a)^2

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de 1(s - a)^2 usando o teorema da convolução. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace e convolução, e vamos precisar usar a propriedade de que o produto de duas transformadas no domínio s corresponde à convolução de suas inversas no domínio t.

Passo 2

Observamos que 1(s - a)^2 = 1s - a cdot 1s - aPelo teorema da convolução, se G(s)=1s-a e então .

Passo 3

Calculamos primeiro . Sabendo que a transformada direta de g(t) = L^-1l1s - ar é e^at temos: 1s - a,

Passo 4

Aplicamos a convolução: f(t) = (g * g)(t) = integral0^t g(tau),g(t-tau),dtau = integral0^t e^atau,e^a(t-tau),dtau

Passo 5

Dentro da integral o produto simplifica: e^atau e^a(t-tau) = e^a t,que é constante em relação a tau. Assim, no cálculo temos: f(t) = e^a t integral0^t dtau = e^a t l[taur]0^t = t,e^a t

Resposta

L^{-1}{1/(s - a)^2} = t,e^{a t}

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