Exercício 1. Calcule a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t)=cos (omega t)

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=cos(omega t). Esse exercício envolve o conteúdo de transformada de Laplace, cuja definição é Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt. Vamos usar essa definição e propriedades de integrais de funções trigonométricas multiplicadas por exponenciais.

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace, precisamos calcular
I=integral0^inftye^-stcos(omega t),dt
Esse é o valor de Lcos(omega t).

Passo 3

Para avaliar I, aplicamos integração por partes. Escolhemos
u = cos(omega t), dv = e^-st,dt
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v = -1se^-st, du = -omegasin(omega t),dt
E obtemos
I=-1se^-stcos(omega t)|0^infty+omegasintegral0^inftye^-stsin(omega t),dt
A parte de fronteira em infinito anula (para Re(s)>0) e em zero vale 1/s, então
I=1s-omegasintegral0^inftye^-stsin(omega t),dt

Passo 4

Chamando
J=integral0^inftye^-stsin(omega t),dt,
esse integral é conhecido ou pode ser calculado de forma semelhante. O resultado padrão é
J=omegas^2+omega^2

Passo 5

Substituindo J em I e simplificando, obtemos
I=1s-omegascdotomegas^2+omega^2=ss^2+omega^2

Resposta

ss^2+omega^2, para Re(s)>0.

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