Exercício 1. Calcule a transformada de Laplace das funções abaixo.
Passo 1
Resumo do enunciado: calcular a transformada de Laplace da função . Esse exercício envolve o conteúdo de transformada de Laplace, cuja definição é . Vamos usar essa definição e propriedades de integrais de funções trigonométricas multiplicadas por exponenciais.
Passo 2
Pela definição da transformada de Laplace, precisamos calcular
Esse é o valor de .
Passo 3
Para avaliar , aplicamos integração por partes. Escolhemos
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E obtemos
A parte de fronteira em infinito anula (para Re(s)>0) e em zero vale 1/s, então
I=1s-omegasintegral0^inftye^-stsin(omega t),dt
Passo 4
Chamando
J=integral0^inftye^-stsin(omega t),dt,
esse integral é conhecido ou pode ser calculado de forma semelhante. O resultado padrão é