Exercício 1. Calcule a transformada de Laplace
para os seguintes casos
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
O que se quer:, a transformada de Laplace dessa função.
Passo 2
Lembrete do que é a transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
maiores que um certo limite (região de convergência). Aqui vou indicar essa condição quando necessário.
Passo 3
Observação útil (propriedade de deslocamento exponencial): se
, então, para qualquer constante
,
Derivação rápida dessa propriedade: pela definição,
No nosso caso
com
. Aqui
, então
onde
.
Passo 4
Calcular
com
. Usamos linearidade da transformada:
Fórmulas padrão (podem ser obtidas por integração por partes ou pela fórmula geral):
Portanto
Passo 5
Aplicar o deslocamento
(vista no Passo 3):
Podemos também juntar em uma única fração com denominador
. Calculando o numerador:
Assim uma forma simplificada é
Condição de convergência: como
existe para
, ao substituir
exige-se
, ou seja
.