Exercício 1. Calcule a transformada de Laplace mathscr{L}{g(t)} para os seguintes casos
g(t)=\frac{1-t+t^{2}}{e^{4 t}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de g(t)=\dfrac{1-t+t^{2}}{e^{4t}}.
Informações dadas:
  • A função é g(t)=\bigl(1-t+t^{2}\bigr)e^{-4t}.
    O que se quer: \mathscr{L}\{g(t)\}(s), a transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Lembrete do que é a transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge0,
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de \operatorname{Re}(s) maiores que um certo limite (região de convergência). Aqui vou indicar essa condição quando necessário.

Passo 3

Observação útil (propriedade de deslocamento exponencial): se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s), então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Derivação rápida dessa propriedade: pela definição,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}e^{a t}f(t)\,dt=\int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
No nosso caso g(t)=e^{-4t}f(t) com f(t)=1-t+t^{2}. Aqui a=-4, então
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\mathscr{L}\{e^{-4t}f(t)\}(s)=F(s+4),
onde F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s).

Passo 4

Calcular F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s) com f(t)=1-t+t^{2}. Usamos linearidade da transformada:
F(s)=\mathscr{L}\{1\}(s)-\mathscr{L}\{t\}(s)+\mathscr{L}\{t^{2}\}(s).
Fórmulas padrão (podem ser obtidas por integração por partes ou pela fórmula geral):
\mathscr{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}\quad(\operatorname{Re}(s)>0),
\mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}\quad(\operatorname{Re}(s)>0),
\mathscr{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}\quad(\operatorname{Re}(s)>0).
Portanto
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{2}{s^{3}}.

Passo 5

Aplicar o deslocamento s\mapsto s+4 (vista no Passo 3):
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=F(s+4)=\frac{1}{s+4}-\frac{1}{(s+4)^{2}}+\frac{2}{(s+4)^{3}}.
Podemos também juntar em uma única fração com denominador (s+4)^{3}. Calculando o numerador:
(s+4)^{2}-(s+4)+2 = s^{2}+8s+16 - s -4 +2 = s^{2}+7s+14.
Assim uma forma simplificada é
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\frac{s^{2}+7s+14}{(s+4)^{3}}.
Condição de convergência: como F(s) existe para \operatorname{Re}(s)>0, ao substituir s+4 exige-se \operatorname{Re}(s+4)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>-4.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\frac{1}{s+4}-\frac{1}{(s+4)^{2}}+\frac{2}{(s+4)^{3}}=\frac{s^{2}+7s+14}{(s+4)^{3}},\quad \operatorname{Re}(s)>-4

Exercícios relacionados