Prove que \lim _{z \rightarrow z_{0}} a z^{n}=a z_{0}^{n}. czde c é una constante complexa e n um inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dado um número complexo a (constante complexa).
Dado um inteiro positivo n.
Dado um ponto z_{0}\in\mathbb{C}.
A função considerada é f(z)=a z^{n}.
O que se pede: provar que
\lim_{z\to z_{0}} a z^{n}=a z_{0}^{n}.
Também importante para a prova (informações que podemos usar): a definição \emph{epsilon–delta} de limite em \mathbb{C}, a propriedade multiplicativa do módulo |\cdot| (ou seja |w_1 w_2|=|w_1||w_2|), a desigualdade triangular |w_1+w_2|\le|w_1|+|w_2| e a identidade de fatoração
Vou usar a definição epsilon–delta de limite em \mathbb{C}. Explicar essa definição de forma curta e clara:
Definição (limite em \mathbb{C}). Dizer que \lim_{z\to z_{0}}f(z)=L significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, tem-se |f(z)-L|<\varepsilon.
No nosso caso queremos provar que L=a z_{0}^{n}, ou seja: dado \varepsilon>0 devemos encontrar \delta>0 com
Precisamos transformar a soma acima numa expressão que possamos controlar por um múltiplo de |z-z_{0}|. Uma técnica padrão: restringir z a um pequeno disco ao redor de z_{0} garantindo um cota simples para |z|.
Escolhe-se \delta\le 1. Assim, sempre que |z-z_{0}|<\delta\le 1 vale
|z| \le |z_{0}| + |z-z_{0}| < |z_{0}|+1.
Logo cada termo da soma satisfaz |z|^{\,n-1-k}|z_{0}|^{\,k}\le (|z_{0}|+1)^{\,n-1}. Como há n termos no somatório, obtemos a cota
\left| \sum_{k=0}^{n-1} z^{\,n-1-k}z_{0}^{\,k}\right| \le n (|z_{0}|+1)^{\,n-1}.
Substituindo essa estimativa em (Passo 3) dá
|a z^{n}-a z_{0}^{n}| \le |a|\,|z-z_{0}|\, n (|z_{0}|+1)^{\,n-1}.
Passo 5
Agora fazemos a escolha explícita de \delta em função de \varepsilon. Queremos que a cota acima seja menor que \varepsilon. Basta exigir
|a|\,|z-z_{0}|\, n (|z_{0}|+1)^{\,n-1}<\varepsilon.
(Se a=0 a expressão simplifica e qualquer \delta>0 funciona porque f\equiv 0; portanto a fórmula acima vale também nesse caso com entendimento que |a|=0.)
Com essa escolha de \delta: sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta temos |z-z_{0}|<\delta\le 1 e portanto, pelo passo anterior,
|a z^{n}-a z_{0}^{n}|\le |a|\,|z-z_{0}|\, n (|z_{0}|+1)^{\,n-1} < |a|\,\frac{\varepsilon}{|a|\,n (|z_{0}|+1)^{\,n-1}}\, n (|z_{0}|+1)^{\,n-1}=\varepsilon.
Isso atende exatamente à definição epsilon–delta de limite.
Passo 6
Comentário didático rápido (dicas para a prova): o ponto-chave foi a fatoração z^{n}-z_{0}^{n}=(z-z_{0})\cdot(\cdots) e a estimativa do somatório usando que, num pequeno disco ao redor de z_{0}, |z| fica majorado por |z_{0}|+1. Essa é uma técnica padrão para limites de polinômios em \mathbb{C}. Alternativamente, pode-se argumentar que a função z\mapsto z^{n} é contínua (provar por indução ou por propriedades de somas e produtos) e multiplicar por a preserva a continuidade; então o limite segue diretamente da continuidade. A prova epsilon–delta que fizemos explicita como construir o \delta a partir de um dado \varepsilon.