Prove que a função w=\lim \cdot 1 /(z-\alpha) é contizua em todo ponto z \neq \alpha.

Passo 1

O enunciado dá a função \;w(z)=\dfrac{1}{z-\alpha}\; e pede: provar que essa função é contínua em todo ponto z\neq\alpha.
Informações relevantes que temos:
  • A variável complexa é z\in\mathbb{C}.
  • O parâmetro fixo é \alpha\in\mathbb{C}.
  • O ponto onde queremos provar continuidade será chamado de z_0, com \;z_0\neq\alpha\;.
    O objetivo concreto: para um z_0\neq\alpha qualquer, mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |z-z_0|<\delta, vale \displaystyle\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrando (definição que vamos usar): dizer que \;w(z)=\dfrac{1}{z-\alpha}\; é contínua em z_0 significa exatamente:
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |z-z_0|<\delta, então \displaystyle\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right|<\varepsilon.
Vou trabalhar diretamente com essa desigualdade e escolher um \delta apropriado em função de \varepsilon e de |z_0-\alpha|.

Passo 3

Calculo a diferença entre os valores da função e faço a álgebra necessária:
\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha} = \frac{z_0-\alpha-(z-\alpha)}{(z-\alpha)(z_0-\alpha)} = \frac{z_0-z}{(z-\alpha)(z_0-\alpha)}.
Tomando módulo (valor absoluto no plano complexo) obtemos
\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right| = \frac{|z-z_0|}{|z-\alpha|\;|z_0-\alpha|}.
Aqui cada símbolo significa:
  • |z-z_0| é a distância entre z e z_0;
  • |z-\alpha| e |z_0-\alpha| são distâncias ao ponto \alpha.

Passo 4

Para controlar a fração acima preciso evitar que |z-\alpha| fique muito pequeno (pois aparece no denominador). Como z_0\neq\alpha, temos |z_0-\alpha|>0. Uso a desigualdade triangular no formato
|z-\alpha| = |(z-z_0)+(z_0-\alpha)| \ge \big||z_0-\alpha|-|z-z_0|\big|.
Isso dá uma forma prática de garantir um limite inferior para |z-\alpha| se restringirmos |z-z_0|. Em particular, se escolhermos \delta\le \dfrac{|z_0-\alpha|}{2} e exigirmos |z-z_0|<\delta, então
|z-z_0| < \frac{|z_0-\alpha|}{2} \quad\Rightarrow\quad |z-\alpha| \ge |z_0-\alpha|-|z-z_0| > |z_0-\alpha|-\frac{|z_0-\alpha|}{2}=\frac{|z_0-\alpha|}{2}.
Portanto, com essa escolha de \delta garantimos que |z-\alpha|\ge \dfrac{|z_0-\alpha|}{2}.

Passo 5

Substituindo essa menor estimativa de |z-\alpha| na expressão do Passo 3 obtemos, sempre que |z-z_0|<\delta\le\dfrac{|z_0-\alpha|}{2},
\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right| \le \frac{|z-z_0|}{\left(\dfrac{|z_0-\alpha|}{2}\right)\,|z_0-\alpha|} = \frac{2\,|z-z_0|}{|z_0-\alpha|^{2}}.
Isto mostra que a diferença entre os valores da função pode ser majorada por uma constante multiplicada por |z-z_0|.

Passo 6

Agora vem a escolha explícita de \delta em função de \varepsilon. Dado \varepsilon>0, queremos que \dfrac{2\,|z-z_0|}{|z_0-\alpha|^{2}}<\varepsilon. Basta garantir
|z-z_0|<\frac{|z_0-\alpha|^{2}\,\varepsilon}{2}.
Para que também valha a condição do Passo 4 (manter |z-\alpha| afastado de zero), definimos
\delta := \min\!\left(\frac{|z_0-\alpha|}{2},\; \frac{|z_0-\alpha|^{2}\,\varepsilon}{2}\right).
Então, se |z-z_0|<\delta temos simultaneamente |z-z_0|<\dfrac{|z_0-\alpha|}{2} (logo |z-\alpha|\ge\dfrac{|z_0-\alpha|}{2}) e |z-z_0|<\dfrac{|z_0-\alpha|^{2}\varepsilon}{2}. A desigualdade do Passo 5 implica então
\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right| \le \frac{2\,|z-z_0|}{|z_0-\alpha|^{2}} < \frac{2}{|z_0-\alpha|^{2}}\cdot\frac{|z_0-\alpha|^{2}\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isto é exatamente a condição da definição de continuidade.

Passo 7

Concluímos que para qualquer z_0\neq\alpha e qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 (a escolha acima) tal que |z-z_0|<\delta implica \displaystyle\left|\frac{1}{z-\alpha}-\frac{1}{z_0-\alpha}\right|<\varepsilon. Portanto \;w(z)=\dfrac{1}{z-\alpha}\; é contínua em z_0. Como z_0 foi um ponto arbitrário de \mathbb{C}\setminus\{\alpha\}, a função é contínua em todo \mathbb{C}\setminus\{\alpha\}.

Passo 8

Observação alternativa (mais conceitual, sem \varepsilon- \delta): a função z\mapsto z-\alpha é contínua em todo \mathbb{C}, e a função w\mapsto 1/w é contínua em \mathbb{C}\setminus\{0\}. A composição dessas duas (primeiro subtrair \alpha, depois tomar recíproco) é contínua onde a segunda é definida, isto é, em \mathbb{C}\setminus\{\alpha\}. Esta explicação é mais curta e usa a propriedade de que composições de funções contínuas são contínuas.

Resposta

A função \dfrac{1}{z-\alpha} é contínua para todo z\neq\alpha.

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