Exercício 0.5 Calcule os valores de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações dadas: o único dado é o ângulo . A tarefa é encontrar um valor exato (em termos de raízes) de
.
Informações dadas: o único dado é o ângulo
Passo 2
Vamos lembrar algumas definições e identidades básicas que vamos usar (explicadas de forma simples).
- Definição:
. Ou seja, cotan é o recíproco da tangente. - Identidade de ângulo suplementar: para qualquer ângulo
,
Dividindo as duas igualdades, obtemos
Isto significa que
é o negativo de
. Vou usar isso com
porque
.
Passo 3
Aplicando a identidade do passo anterior com
:
Portanto o problema reduz-se a calcular
.
Passo 4
Como
, vamos calcular
. Uma forma prática é usar a fórmula da tangente da diferença:
Escolho
e
, pois
e
. Assim
Passo 5
Simplifico a expressão de
. Primeiro coloco tudo sobre um mesmo denominador:
Racionalizo (multiplico numerador e denomínio por
ou diretamente uso a identidade de diferença de quadrados):
Calculando:
logo
Passo 6
Agora obtemos
como recíproco de
:
Racionalizo o denominador multiplicando por
:
Passo 7
Voltando ao que precisamos:
Como checagem numérica rápida,
, então
e
, o que faz sentido (cotangente de ângulo no segundo quadrante é negativa).