Exercício 0.5 Calcule os valores de:
\operatorname{cotan} 165^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \operatorname{cotan} 165^{\circ}.
Informações dadas: o único dado é o ângulo 165^{\circ}. A tarefa é encontrar um valor exato (em termos de raízes) de \operatorname{cotan}165^{\circ}.

Passo 2

Vamos lembrar algumas definições e identidades básicas que vamos usar (explicadas de forma simples).
  • Definição: \operatorname{cotan} \theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta}. Ou seja, cotan é o recíproco da tangente.
  • Identidade de ângulo suplementar: para qualquer ângulo \theta,
\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta,\qquad \sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta.
Dividindo as duas igualdades, obtemos
\operatorname{cotan}(180^\circ-\theta)=-\operatorname{cotan}\theta.
Isto significa que \operatorname{cotan}(180^\circ-\theta) é o negativo de \operatorname{cotan}\theta. Vou usar isso com \theta=15^\circ porque 165^\circ=180^\circ-15^\circ.

Passo 3

Aplicando a identidade do passo anterior com \theta=15^\circ:
\operatorname{cotan}165^\circ=\operatorname{cotan}(180^\circ-15^\circ)=-\operatorname{cotan}15^\circ.
Portanto o problema reduz-se a calcular \operatorname{cotan}15^\circ.

Passo 4

Como \operatorname{cotan}15^\circ=\dfrac{1}{\tan15^\circ}, vamos calcular \tan15^\circ. Uma forma prática é usar a fórmula da tangente da diferença:
\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\,\tan b}.
Escolho a=45^\circ e b=30^\circ, pois \tan45^\circ=1 e \tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim
\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}}.

Passo 5

Simplifico a expressão de \tan15^\circ. Primeiro coloco tudo sobre um mesmo denominador:
\tan15^\circ=\frac{\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.
Racionalizo (multiplico numerador e denomínio por \sqrt{3}-1 ou diretamente uso a identidade de diferença de quadrados):
\tan15^\circ=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}.
Calculando:
(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3},
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\tan15^\circ=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.

Passo 6

Agora obtemos \operatorname{cotan}15^\circ como recíproco de \tan15^\circ:
\operatorname{cotan}15^\circ=\frac{1}{\tan15^\circ}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}.
Racionalizo o denominador multiplicando por 2+\sqrt{3}:
\operatorname{cotan}15^\circ=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}.

Passo 7

Voltando ao que precisamos:
\operatorname{cotan}165^\circ=-\operatorname{cotan}15^\circ=-(2+\sqrt{3}).
Como checagem numérica rápida, \sqrt{3}\approx1,732, então 2+\sqrt{3}\approx3,732 e \operatorname{cotan}165^\circ\approx-3,732, o que faz sentido (cotangente de ângulo no segundo quadrante é negativa).

Resposta

-2-\sqrt{3}

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