Exercício 5.1 Um capacitor tem uma placa de área 0,0045 \mathrm{~m}^{2} e uma carga de magnitude q em cada placa. O espaço entre as placas foi preenchido com um dielétrico que possui uma carga superficial ligada de magnitude 3 q / 4 \mathrm{em} ambos os lados. Quando o material dielétrico é removido, a ruptura elétrica do ar é observada entre as placas. Qual é o menor valor possível de q ? Considere duas configurações, um capacitor isolado e um capacitor ligado a uma bateria que gera uma diferença de potencial constante.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas de área A=0,0045\:\mathrm{m}^2 com carga livre de magnitude q em cada placa. Entre as placas há um dielétrico que cria, nas suas superfícies, cargas ligadas de magnitude Q_b=3q/4 em cada lado. Quando esse dielétrico é retirado para a atmosfera (ar), ocorre ruptura elétrica se o campo entre placas ultrapassar o valor crítico de ruptura do ar, que vamos chamar de E_{\rm rup}. Precisamos achar o menor q que provoque essa ruptura em dois casos:
– capacitor isolado (carga q constante),
– capacitor mantido ligado a bateria (tensão V constante).

Passo 2

Antes de tratar cada configuração, vamos determinar a constante dielétrica \kappa desse material usando a relação entre carga ligada e campo no dielétrico. Sabemos que
Q_b \;=\;\frac{\kappa-1}{\kappa}\,q,
e o enunciado dá Q_b=3q/4.

Passo 3

Igualando as duas expressões para Q_b, temos
\frac{\kappa-1}{\kappa}\,q \;=\;\frac{3q}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\kappa-1}{\kappa}=\frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad \kappa=4.

Passo 4

Para o capacitor isolado, ao remover o dielétrico a carga q permanece fixa e o campo no ar entre as placas é
E_{\rm ar} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0} =\frac{q/A}{\varepsilon_0} =\frac{q}{\varepsilon_0 A}.
A ruptura ocorre quando E_{\rm ar}=E_{\rm rup}. Logo, o menor q satisfaz
\frac{q}{\varepsilon_0 A}=E_{\rm rup} \quad\Longrightarrow\quad q_{\rm isolado}=\varepsilon_0\,A\,E_{\rm rup}.

Passo 5

Para o capacitor ligado a bateria, a tensão V entre as placas permanece constante ao retirar o dielétrico. A ruptura pede
E_{\rm ar}=\frac{V}{d}=E_{\rm rup} \quad\Longrightarrow\quad V=E_{\rm rup}\,d.
Mas a carga inicial (com dielétrico) era q_i=C_{\rm diel}\,V=\kappa\varepsilon_0\frac{A}{d}V. Substituindo V=E_{\rm rup}d e \kappa=4, obtemos
q_{\rm bateria} =4\,\varepsilon_0\frac{A}{d}\,(E_{\rm rup}\,d) =4\,\varepsilon_0\,A\,E_{\rm rup}.

Resposta

O menor valor de q que causa ruptura é q_{\rm isolado}=\varepsilon_0\,A\,E_{\rm rup} no caso isolado, e q_{\rm bateria}=4\,\varepsilon_0\,A\,E_{\rm rup} com bateria.
O menor deles é o do capacitor isolado.

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