Exercício 9. Um fio de cobre possui resistência de 10 \Omega a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de temperatura do cobré e \alpha " 3,9 / \times 10^{-3}{ }^{\circ} C^{-1}. Calcule a resistência do fio quando sua temperatura atinge 80^{\circ} \mathrm{C}, o aumento percentual da resistência em relação ao valor inicial e explique por que a resistência elétrica aumenta com a temperatura.

Passo 1

O enunciado dá um fio de cobre com resistência inicial e pede a resistência a outra temperatura, o aumento percentual e uma explicação física. Dados e perguntas (peguei os números do enunciado):
  • Resistência inicial: R_0 = 10\\ \Omega à temperatura inicial T_0 = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de temperatura do cobre: \alpha = 3{,}9\times10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Temperatura final: T = 80^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
  1. Calcular a resistência do fio em T = 80^\circ\mathrm{C}.
  2. Calcular o aumento percentual da resistência em relação a R_0.
  3. Explicar por que a resistência elétrica aumenta com a temperatura.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e o significado das variáveis (a versão linear válida para variações moderadas de temperatura):
R(T)=R_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr].
Explicando cada símbolo:
  • R(T) é a resistência na temperatura T.
  • R_0 é a resistência na temperatura de referência T_0.
  • \alpha é o coeficiente de temperatura da resistência (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}); ele diz quanto a resistência relativa cresce por grau Celsius.
  • T-T_0 é a variação de temperatura, em ^\circ\mathrm{C}.
Breve motivo físico por que essa fórmula faz sentido: em condutores metálicos a resistividade aumenta aproximadamente de forma linear com a temperatura em uma faixa moderada, por isso a resistência — que é proporcional à resistividade — cresce segundo a expressão acima.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T-T_0 = 80^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=60^\circ\mathrm{C}.
Calcular o fator multiplicativo:
\alpha\,\Delta T = \bigl(3{,}9\times10^{-3}\bigr)\times60.
Fazendo a conta passo a passo:
3{,}9\times60 = 234,\quad\text{logo}\quad 3{,}9\times10^{-3}\times60 = 234\times10^{-3}=0{,}234.

Passo 4

Agora aplicar a fórmula para achar R(80^\circ\mathrm{C}):
R(80^\circ\mathrm{C}) = 10\\ \Omega \times \bigl(1+0{,}234\bigr)=10\\ \Omega\times1{,}234=12{,}34\\ \Omega.
Expliquei a aritmética para que dê para fazer à mão na prova: multiplicou-se 10 por 1{,}234.

Passo 5

Calcular o aumento percentual relativo em relação a R_0:
\text{aumento percentual} = \frac{R(80^\circ\mathrm{C})-R_0}{R_0}\times100\%.
Substituindo valores:
\frac{12{,}34-10}{10}\times100\%=\frac{2{,}34}{10}\times100\%=0{,}234\times100\%=23{,}4\%.

Passo 6

Explicação física didática (versão amigável para decorar e usar na prova):
  • Em metais a corrente elétrica é feita por elétrons livres que se movem pela rede cristalina dos átomos.
  • Quando a temperatura sobe, os átomos vibram mais (essas vibrações chamam-se fônons). Essas vibrações dificultam o movimento ordenado dos elétrons porque aumentam a taxa de colisões entre elétrons e átomos vibrantes.
  • Mais colisões significam que os elétrons demoram menos tempo entre colisões (ou têm menor caminho livre médio), então a condutividade diminui e a resistividade aumenta.
  • Como R é proporcional à resistividade, a resistência cresce com a temperatura. Por isso, para a maioria dos metais \alpha>0 e a resistência aumenta com T.
  • Dica rápida para a prova: use sempre a fórmula linear R=R_0[1+\alpha\Delta T] para variações moderadas de temperatura; ela é direta e evita contas complicadas.

Resposta

R(80^\circ\mathrm{C})=12{,}34\\ \Omega
Aumento percentual =23{,}4\%
Explicação: a resistência aumenta porque, ao elevar a temperatura, os átomos da rede vibram mais e causam mais colisões com os elétrons de condução, reduzindo a mobilidade dos elétrons e aumentando a resistividade (portanto a resistência).

Exercícios relacionados