• Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de \mathrm{R}=2 \Omega, \mathrm{L}=1 \mathrm{H} e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
    \mathrm{C}=0,5 \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com os valores:
  • R=2\\ \Omega
  • L=1\\ \mathrm{H}
  • C=0,5\\ \mathrm{F}
A pergunta é: determinar o tipo de resposta natural (livre) da rede para esses valores de R, L e C. Ou seja, identificar se a resposta é superamortecida (sobreamortecida), criticamente amortecida ou subamortecida (oscilatória amortecida).

Passo 2

Vamos escrever a equação característica que descreve a resposta livre do circuito série. Se q(t) é a carga no capacitor, a equação diferencial homogênea linear é
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=0.
Procurando soluções da forma q(t)\propto e^{st} obtemos a equação característica
L s^{2}+R s+\frac{1}{C}=0.
Aqui s são as raízes (autovalores) que determinam o comportamento temporal: se as raízes são reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas, a resposta será respectivamente superamortecida, criticamente amortecida ou subamortecida (oscilatória amortecida).

Passo 3

Para classificar as raízes usamos o discriminante da quadrática. O discriminante é
\Delta = R^{2}-4L\cdot\frac{1}{C}.
Vamos calcular passo a passo com os valores dados:
R^{2}=(2)^{2}=4,
4L\cdot\frac{1}{C}=4\cdot 1\cdot\frac{1}{0,5}=4\cdot 2=8,
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\Delta = 4-8=-4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas e a resposta é do tipo oscilatória amortecida (subamortecida).

Passo 4

Vamos agora introduzir e calcular os parâmetros físicos que explicam melhor o comportamento:
definições importantes:
  • coeficiente de amortecimento \alpha definido por \alpha=\dfrac{R}{2L}. Ele dá a taxa exponencial de decaimento;
  • frequência natural não amortecida \omega_{0} definida por \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}};
  • razão de amortecimento (damping ratio) \zeta=\dfrac{\alpha}{\omega_{0}}.
Calculando cada um:
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{2}{2\cdot 1}=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot 0,5}}=\frac{1}{\sqrt{0,5}}=\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 1{,}4142\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora a razão de amortecimento:
\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2^{1/2}}\approx 0{,}7071.
Como 0<\zeta<1 (ou equivalentemente \Delta<0), isso confirma que o circuito é subamortecido: haverá oscilações cuja amplitude decai exponencialmente com fator e^{-\alpha t}.

Passo 6

A frequência angular das oscilações amortecidas ( \omega_{d}) é dada por
\omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo os valores:
\omega_{d}=\sqrt{2}\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=1\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Forma geral da corrente (ou da carga) na resposta natural: como as raízes são -\alpha \pm j\omega_{d}, a solução temporal é uma oscilação amortecida. Para a corrente i(t)=\dfrac{dq}{dt} uma forma conveniente é
i(t)=I_{0}e^{-\alpha t}\cos\!\bigl(\omega_{d}t-\varphi\bigr),
onde I_{0} e \varphi dependem das condições iniciais. O que importa para a prova é reconhecer o formato: oscilações com frequência \omega_{d}=1\\ \mathrm{rad/s} e decaimento exponencial com taxa \alpha=1\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 8

Resumo físico e incentivo rápido: com R=2\\ \Omega, L=1\\ \mathrm{H} e C=0,5\\ \mathrm{F} o circuito apresenta resposta subamortecida — ou seja, oscilações amortecidas. Valores úteis que você pode citar na prova: \alpha=1\\ \mathrm{s}^{-1}, \omega_{0}=\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}, \zeta=1/\sqrt{2}, \omega_{d}=1\\ \mathrm{rad/s}. Vai dar certo — concentre-se em lembrar: discriminante negativo → resposta oscilatória amortecida.

Resposta

Subamortecido (resposta oscilatória amortecida); \alpha=1\\ \mathrm{s}^{-1}, \omega_{0}=\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}, \zeta=1/\sqrt{2}, \omega_{d}=1\\ \mathrm{rad/s}

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