- Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de
,
e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RLC com os valores:
A pergunta é: determinar o tipo de resposta natural (livre) da rede para esses valores de
,
e
. Ou seja, identificar se a resposta é superamortecida (sobreamortecida), criticamente amortecida ou subamortecida (oscilatória amortecida).
Passo 2
Vamos escrever a equação característica que descreve a resposta livre do circuito série. Se
é a carga no capacitor, a equação diferencial homogênea linear é
Procurando soluções da forma
obtemos a equação característica
Aqui
são as raízes (autovalores) que determinam o comportamento temporal: se as raízes são reais distintas, reais iguais ou complexas conjugadas, a resposta será respectivamente superamortecida, criticamente amortecida ou subamortecida (oscilatória amortecida).
Passo 3
Para classificar as raízes usamos o discriminante da quadrática. O discriminante é
Vamos calcular passo a passo com os valores dados:
logo
Como
, as raízes são complexas conjugadas e a resposta é do tipo oscilatória amortecida (subamortecida).
Passo 4
Vamos agora introduzir e calcular os parâmetros físicos que explicam melhor o comportamento:
definições importantes:
definições importantes:
- coeficiente de amortecimento
definido por . Ele dá a taxa exponencial de decaimento; - frequência natural não amortecida
definida por ; - razão de amortecimento (damping ratio)
.
Calculando cada um:
Passo 5
Agora a razão de amortecimento:
Como
(ou equivalentemente
), isso confirma que o circuito é subamortecido: haverá oscilações cuja amplitude decai exponencialmente com fator
.
Passo 6
A frequência angular das oscilações amortecidas (
) é dada por
Substituindo os valores:
Passo 7
Forma geral da corrente (ou da carga) na resposta natural: como as raízes são
, a solução temporal é uma oscilação amortecida. Para a corrente
uma forma conveniente é
onde
e
dependem das condições iniciais. O que importa para a prova é reconhecer o formato: oscilações com frequência
e decaimento exponencial com taxa
.
Passo 8
Resumo físico e incentivo rápido: com
,
e
o circuito apresenta resposta subamortecida — ou seja, oscilações amortecidas. Valores úteis que você pode citar na prova:
,
,
,
. Vai dar certo — concentre-se em lembrar: discriminante negativo → resposta oscilatória amortecida.
Resposta
Subamortecido (resposta oscilatória amortecida);
,
,
,