- Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de
,
e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
, , e . - Pergunta: determinar o tipo de resposta natural (amortecimento) da rede RLC série quando
. Ou seja, temos que dizer se a resposta livre é subamortecida (oscilatória), criticamente amortecida (aperiódica crítica) ou superamortecida (aperiódica).
Passo 2
Modelo do circuito e equação característica (o que estamos resolvendo).
Para um circuito RLC série, a equação diferencial para a corrente livre (sem fonte forçante) é
Para um circuito RLC série, a equação diferencial para a corrente livre
Explicando:
-
é a corrente no circuito como função do tempo; -
multiplica a segunda derivada e representa a inércia do indutor; -
multiplica a primeira derivada e é o termo de amortecimento (dissipação por resistência); -
multiplica e representa a “rigidez” do capacitor.
Para estudar o tipo de resposta olhamos a equação característica associada obtida assumindo solução exponencial. Dividindo por obtemos:
Passo 3
Definir parâmetros úteis: taxa de amortecimento
e frequência natural
.
É comum escrever a equação em termos de
É comum escrever a equação em termos de
Esses dois números determinam o comportamento: raízes da equação são
Interpretação rápida:
- se
as raízes são reais e distintas superamortecido (aperiódico, sem oscilações); - se
raízes reais iguais criticamente amortecido (aperiódica crítica); - se
raízes complexas conjugadas subamortecido (oscilatório com decaimento exponencial).
Passo 4
Calcular
e
com os valores dados.
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
Passo 5
Comparar
e
e concluir o tipo de resposta.
Como , temos o caso limite
. Isso significa que as raízes da equação característica são iguais (dupla raiz real) e a resposta livre é criticamente amortecida (também chamada de aperiódica crítica).
Como
Passo 6
Forma geral da solução no caso crítico e significado prático (para você usar na prova).
Quando a resposta é criticamente amortecida as soluções têm a forma
Quando a resposta é criticamente amortecida as soluções têm a forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (
e
). Intuição: a corrente decai sem oscilar, da forma mais “rápida” possível sem passar por oscilações. Então, para este circuito com
,
,
espera-se retorno ao equilíbrio sem oscilações, mas sem retardar além do necessário (aperiódica crítica).
Resposta
A resposta é criticamente amortecida (aperiódica crítica).