• Exercício 6 - Um circuito RLC em serie consiste de \mathrm{R}=2 \Omega, \mathrm{L}=1 \mathrm{H} e um capacitor. Determine o tipo de resposta apresentada pela rede caso:
C=1 F

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos: R=2\\ \Omega, L=1\\ \mathrm{H}, e C=1\\ \mathrm{F}.
  • Pergunta: determinar o tipo de resposta natural (amortecimento) da rede RLC série quando C=1\\ \mathrm{F}. Ou seja, temos que dizer se a resposta livre é subamortecida (oscilatória), criticamente amortecida (aperiódica crítica) ou superamortecida (aperiódica).

Passo 2

Modelo do circuito e equação característica (o que estamos resolvendo).
Para um circuito RLC série, a equação diferencial para a corrente livre i(t) (sem fonte forçante) é
L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\,i=0.
Explicando:
  • i(t) é a corrente no circuito como função do tempo;
  • L multiplica a segunda derivada e representa a inércia do indutor;
  • R multiplica a primeira derivada e é o termo de amortecimento (dissipação por resistência);
  • \tfrac{1}{C} multiplica i e representa a “rigidez” do capacitor.
    Para estudar o tipo de resposta olhamos a equação característica associada obtida assumindo solução exponencial i(t)\propto e^{st}. Dividindo por L obtemos:
s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0.

Passo 3

Definir parâmetros úteis: taxa de amortecimento \alpha e frequência natural \omega_0.
É comum escrever a equação em termos de
\alpha=\frac{R}{2L},\qquad \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Esses dois números determinam o comportamento: raízes da equação são
s=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Interpretação rápida:
  • se \alpha>\omega_{0} as raízes são reais e distintas \Rightarrow superamortecido (aperiódico, sem oscilações);
  • se \alpha=\omega_{0} raízes reais iguais \Rightarrow criticamente amortecido (aperiódica crítica);
  • se \alpha<\omega_{0} raízes complexas conjugadas \Rightarrow subamortecido (oscilatório com decaimento exponencial).

Passo 4

Calcular \alpha e \omega_{0} com os valores dados.
Calculemos \alpha:
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{2}{2\cdot 1}=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
Calculemos \omega_{0}:
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot 1}}=1\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Comparar \alpha e \omega_{0} e concluir o tipo de resposta.
Como \alpha=\omega_{0}=1\\ \mathrm{s}^{-1}, temos o caso limite \alpha=\omega_{0}. Isso significa que as raízes da equação característica são iguais (dupla raiz real) e a resposta livre é criticamente amortecida (também chamada de aperiódica crítica).

Passo 6

Forma geral da solução no caso crítico e significado prático (para você usar na prova).
Quando a resposta é criticamente amortecida as soluções têm a forma
i(t)=\big(A+Bt\big)e^{-\alpha t},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais ( i(0) e \dot{i}(0)). Intuição: a corrente decai sem oscilar, da forma mais “rápida” possível sem passar por oscilações. Então, para este circuito com R=2\\ \Omega, L=1\\ \mathrm{H}, C=1\\ \mathrm{F} espera-se retorno ao equilíbrio sem oscilações, mas sem retardar além do necessário (aperiódica crítica).

Resposta

A resposta é criticamente amortecida (aperiódica crítica).

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