Calcule F^{\prime}(x) onde F(x) é igual a
\frac{3 x-\sqrt[3]{x}}{6 x \sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\frac{3x-\sqrt[3]{x}}{6x\sqrt{x}}
Isso envolve simplificar a expressão em potências de x e depois usar a regra de derivação de potências: \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Escrevendo \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e \sqrt{x}=x^{1/2}, o denominador fica 6x\cdot x^{1/2}=6x^{3/2}. Logo
F(x) =\frac{3x}{6x^{3/2}}-\frac{x^{1/3}}{6x^{3/2}} =\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{6}x^{-7/6}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12x^{-1/2}\Bigr) =\tfrac12\cdot(-\tfrac12)x^{-3/2} =-\tfrac14\,x^{-3/2},
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac16x^{-7/6}\Bigr) =-\tfrac16\cdot\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr)x^{-13/6} =+\tfrac{7}{36}\,x^{-13/6}.
Somando,
F'(x)=-\tfrac14\,x^{-3/2}+\tfrac{7}{36}\,x^{-13/6}.

Passo 4

Para juntar em uma única fração, fatoramos x^{-13/6}:
-\tfrac14\,x^{-3/2} =-\tfrac{9}{36}\,x^{-9/6} =-\tfrac{9}{36}\,x^{2/3}x^{-13/6},
\tfrac{7}{36}\,x^{-13/6} =\tfrac{7}{36}\,x^{-13/6}.
Logo
F'(x) =\frac{-9x^{2/3}+7}{36}\;x^{-13/6} =\frac{7-9x^{2/3}}{36\,x^{13/6}}.

Resposta

F'(x)=\frac{7-9x^{2/3}}{36\,x^{13/6}}.

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