Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
x^{2}+2 y^{2}-4 x+4 y-z+8=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
x^{2}+2y^{2}-4x+4y-z+8=0
As perguntas são:
  • Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone).
  • Determinar seu centro, se existir.
  • Determinar os comprimentos dos semieixos (ou, se aplicável, como os semieixos das seções transversais dependem da coordenada).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x^{2} e 2 para y^{2}; há termos lineares em x e y e um termo linear em z.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem detalhes técnicos longos): para classificar uma quádrica quando aparecem termos quadráticos e lineares, o caminho mais direto é completar o quadrado nos termos em x e y e reescrever a equação numa forma canônica (geralmente isolando z ou fazendo uma translação de coordenadas). Vou completar os quadrados para os termos em x e y.

Passo 3

Agrupo os termos por variável e completo os quadrados. Primeiro para x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4.
Agora para y:
2y^{2}+4y = 2\bigl(y^{2}+2y\bigr)=2\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=2(y+1)^{2}-2.
Substituo essas expressões na equação original:
(x-2)^{2}-4 + 2(y+1)^{2}-2 - z + 8 = 0.
Somando as constantes -4-2+8 obtemos +2. Assim a equação fica
(x-2)^{2} + 2(y+1)^{2} - z + 2 = 0.

Passo 4

Isolo z para ver a forma canônica:
z = (x-2)^{2} + 2(y+1)^{2} + 2.
Essa é uma forma muito clara: z é igual a uma soma de quadrados positivos (com coeficientes positivos) mais uma constante. Isso descreve um paraboloide cuja variável quadrática depende só de x e y e que cresce quando x,y se afastam do ponto onde os quadrados são zero. Portanto a superfície é um paraboloide elíptico (paraboloide com secções elípticas), que se abre na direção positiva do eixo z.
Explicando de forma concreta: os coeficientes das parcelas quadráticas em x e y são ambos positivos ( 1 e 2), por isso a soma é definida positiva e resulta em um paraboloide elíptico.

Passo 5

Encontro o vértice (ponto mínimo de z). Os quadrados (x-2)^{2} e 2(y+1)^{2} atingem o mínimo zero quando x=2 e y=-1. Substituindo esses valores em \;z=(x-2)^{2}+2(y+1)^{2}+2\; obtemos z=2. Logo o vértice é o ponto
(2,\,-1,\,2).

Passo 6

Centro: por definição, o “centro” de uma quádrica é um ponto com simetria de inversão (se (X) está na superfície então o ponto simétrico em relação ao centro também está). Um paraboloide elíptico não é simétrico em dois sentidos opostos ao redor de um ponto (ele só tem um vértice e abre-se para um lado), portanto não possui centro. Conclusão: não há centro nessa superfície.

Passo 7

Semieixos: para um paraboloide elíptico os “semieixos” normalmente referem-se às semi‑retas principais das seções transversais horizontais (seções fixando z=z_{0}). Faço essa análise: para uma altura fixa z_{0} com z_{0}>2 (pois abaixo de 2 não há interseção real), a interseção com o plano z=z_{0} é dada por
(x-2)^{2} + 2(y+1)^{2} = z_{0}-2.
Essa é a equação de uma elipse centrada em (2,-1,z_{0}). Para escrever em forma padrão, divido ambos os lados por z_{0}-2:
\frac{(x-2)^{2}}{z_{0}-2} + \frac{(y+1)^{2}}{(z_{0}-2)/2} = 1.
Portanto os comprimentos dos semieixos (para essa elipse de nível z_{0}) são
a_x=\sqrt{\,z_{0}-2\,}\quad\text{na direção do eixo }x,çã
a_y=\sqrt{\,\frac{z_{0}-2}{2}\,}\quad\text{na direção do eixo }y.çã
Observações úteis para prova: os semieixos aumentam quando z_{0} aumenta; a razão entre os semieixos é \dfrac{a_y}{a_x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, ou seja, as elipses têm eixos alinhados com os eixos x e y e são mais “esticadas” em x do que em y por um fator \sqrt{2}.

Passo 8

Resumo e interpretação rápida para a prova (passo-a-passo que dá para reproduzir no caderno):
  • Complete os quadrados para x e y.
  • Isole z para ver se aparece uma soma positiva de quadrados (paraboloide elíptico), uma diferença de quadrados (hiperbolóide) ou soma igual a constante (elipsoide), etc.
  • Encontre o vértice zerando os quadrados.
  • Se pedirem semieixos, considere as seções \,z=z_{0}\, e escreva a elipse correspondente para extrair os semieixos em função de z_{0}.

Resposta

Paraboloide elíptico, abertura para +\!z.
Vértice (2,-1,2). (Não há centro.)
Seção horizontal em z=z_{0}>2: elipse \dfrac{(x-2)^{2}}{z_{0}-2}+\dfrac{(y+1)^{2}}{(z_{0}-2)/2}=1, logo os semieixos são a_x=\sqrt{z_{0}-2} e a_y=\sqrt{\dfrac{z_{0}-2}{2}}.

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