Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
As perguntas são:
- Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone).
- Determinar seu centro, se existir.
- Determinar os comprimentos dos semieixos (ou, se aplicável, como os semieixos das seções transversais dependem da coordenada).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos são
para
e
para
; há termos lineares em
e
e um termo linear em
.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem detalhes técnicos longos): para classificar uma quádrica quando aparecem termos quadráticos e lineares, o caminho mais direto é completar o quadrado nos termos em
e
e reescrever a equação numa forma canônica (geralmente isolando
ou fazendo uma translação de coordenadas). Vou completar os quadrados para os termos em
e
.
Passo 3
Agrupo os termos por variável e completo os quadrados. Primeiro para
:
Agora para
:
Substituo essas expressões na equação original:
Somando as constantes
obtemos
. Assim a equação fica
Passo 4
Isolo
para ver a forma canônica:
Essa é uma forma muito clara:
é igual a uma soma de quadrados positivos (com coeficientes positivos) mais uma constante. Isso descreve um paraboloide cuja variável quadrática depende só de
e
e que cresce quando
se afastam do ponto onde os quadrados são zero. Portanto a superfície é um paraboloide elíptico (paraboloide com secções elípticas), que se abre na direção positiva do eixo
.
Explicando de forma concreta: os coeficientes das parcelas quadráticas em
e
são ambos positivos (
e
), por isso a soma é definida positiva e resulta em um paraboloide elíptico.
Passo 5
Encontro o vértice (ponto mínimo de
). Os quadrados
e
atingem o mínimo zero quando
e
. Substituindo esses valores em
obtemos
. Logo o vértice é o ponto
Passo 6
Centro: por definição, o “centro” de uma quádrica é um ponto com simetria de inversão (se
está na superfície então o ponto simétrico em relação ao centro também está). Um paraboloide elíptico não é simétrico em dois sentidos opostos ao redor de um ponto (ele só tem um vértice e abre-se para um lado), portanto não possui centro. Conclusão: não há centro nessa superfície.
Passo 7
Semieixos: para um paraboloide elíptico os “semieixos” normalmente referem-se às semi‑retas principais das seções transversais horizontais (seções fixando
). Faço essa análise: para uma altura fixa
com
(pois abaixo de
não há interseção real), a interseção com o plano
é dada por
Essa é a equação de uma elipse centrada em
. Para escrever em forma padrão, divido ambos os lados por
:
Portanto os comprimentos dos semieixos (para essa elipse de nível
) são
Observações úteis para prova: os semieixos aumentam quando
aumenta; a razão entre os semieixos é
, ou seja, as elipses têm eixos alinhados com os eixos
e
e são mais “esticadas” em
do que em
por um fator
.
Passo 8
Resumo e interpretação rápida para a prova (passo-a-passo que dá para reproduzir no caderno):
- Complete os quadrados para
e . - Isole
para ver se aparece uma soma positiva de quadrados (paraboloide elíptico), uma diferença de quadrados (hiperbolóide) ou soma igual a constante (elipsoide), etc. - Encontre o vértice zerando os quadrados.
- Se pedirem semieixos, considere as seções
e escreva a elipse correspondente para extrair os semieixos em função de .
Resposta
Paraboloide elíptico, abertura para
.
Vértice . (Não há centro.)
Seção horizontal em : elipse
, logo os semieixos são
e
.
Vértice
Seção horizontal em