Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+14=0
Passo 1
O enunciado dá a seguinte superfície quádric a ser classificada e pede também centro e comprimentos dos semieixos:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14=0.
Perguntas a responder:
Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone, ou caso degenerado).
Determinar o centro (se houver).
Determinar os comprimentos dos semieixos.
Passo 2
Estratégia para resolver (explicação didática): para quadráticas com termos lineares em x,y,z o procedimento padrão é completar quadrados para escrever a equação na forma canônica, que deixa explícito o tipo da superfície. Completar quadrado é reescrever expressões do tipo x^{2}+bx como um quadrado perfeito mais ou menos uma constante, usando a identidade
Aqui aplicamos isso separadamente para as variáveis x, y e z. Quando obtivermos uma soma de quadrados igual a uma constante, podemos reconhecer um elipsoide (ou esfera) se a constante for positiva; se a soma de quadrados for igual a zero, temos um ponto (elipsoide degenerado). Também posso explicar depois uma alternativa linear-algébrica (centro como solução do sistema gradiente = 0).
Passo 3
Aplicando completar quadrados termo a termo:
Para x:
x^{2}-2x = \bigl(x-1\bigr)^{2}-1.
Para y:
y^{2}+4y = \bigl(y+2\bigr)^{2}-4.
Para z:
z^{2}-6z = \bigl(z-3\bigr)^{2}-9.
Substituindo essas expressões na equação original:
Interpretação da forma canônica: a soma de três quadrados é igual a zero. Um quadrado real é sempre não negativo, portanto a soma de três quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero. Assim as soluções satisfazem
x-1=0,\qquad y+2=0,\qquad z-3=0,
isto é, a única solução é o ponto (1,-2,3).
Geometricamente, isso significa que a superfície é um elipsoide degenerado que colapsa a um único ponto (no caso particular em que todos os semieixos têm comprimento zero). Se a constante à direita tivesse sido positiva, teríamos um elipsoide não degenerado (no caso especial de coeficientes iguais, uma esfera).
Passo 5
Comentário adicional (método alternativo para achar o centro): para uma quadric geral escrita como
\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{T}\mathbf{x} + c = 0,
onde A é a matriz simétrica dos coeficientes quadráticos, o centro (quando existe) é a solução de \nabla(\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{T}\mathbf{x}+c)=0, que leva a