Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z+14=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte superfície quádric a ser classificada e pede também centro e comprimentos dos semieixos:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14=0.
Perguntas a responder:
  • Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone, ou caso degenerado).
  • Determinar o centro (se houver).
  • Determinar os comprimentos dos semieixos.

Passo 2

Estratégia para resolver (explicação didática): para quadráticas com termos lineares em x,y,z o procedimento padrão é completar quadrados para escrever a equação na forma canônica, que deixa explícito o tipo da superfície. Completar quadrado é reescrever expressões do tipo x^{2}+bx como um quadrado perfeito mais ou menos uma constante, usando a identidade
x^{2}+bx = \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aqui aplicamos isso separadamente para as variáveis x, y e z. Quando obtivermos uma soma de quadrados igual a uma constante, podemos reconhecer um elipsoide (ou esfera) se a constante for positiva; se a soma de quadrados for igual a zero, temos um ponto (elipsoide degenerado). Também posso explicar depois uma alternativa linear-algébrica (centro como solução do sistema gradiente = 0).

Passo 3

Aplicando completar quadrados termo a termo:
Para x:
x^{2}-2x = \bigl(x-1\bigr)^{2}-1.
Para y:
y^{2}+4y = \bigl(y+2\bigr)^{2}-4.
Para z:
z^{2}-6z = \bigl(z-3\bigr)^{2}-9.
Substituindo essas expressões na equação original:
\bigl(x-1\bigr)^{2}-1 + \bigl(y+2\bigr)^{2}-4 + \bigl(z-3\bigr)^{2}-9 +14 = 0.
Agora somar as constantes -1-4-9+14:
-1-4-9+14 = 0.
Portanto a equação simplifica-se para
\bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y+2\bigr)^{2} + \bigl(z-3\bigr)^{2} = 0.

Passo 4

Interpretação da forma canônica: a soma de três quadrados é igual a zero. Um quadrado real é sempre não negativo, portanto a soma de três quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero. Assim as soluções satisfazem
x-1=0,\qquad y+2=0,\qquad z-3=0,
isto é, a única solução é o ponto (1,-2,3).
Geometricamente, isso significa que a superfície é um elipsoide degenerado que colapsa a um único ponto (no caso particular em que todos os semieixos têm comprimento zero). Se a constante à direita tivesse sido positiva, teríamos um elipsoide não degenerado (no caso especial de coeficientes iguais, uma esfera).

Passo 5

Comentário adicional (método alternativo para achar o centro): para uma quadric geral escrita como
\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{T}\mathbf{x} + c = 0,
onde A é a matriz simétrica dos coeficientes quadráticos, o centro (quando existe) é a solução de \nabla(\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} + \mathbf{b}^{T}\mathbf{x}+c)=0, que leva a
2A\mathbf{x} + \mathbf{b} = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{x} = -\tfrac{1}{2}A^{-1}\mathbf{b}.
Aplicando isso rapidamente ao caso \,x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+14=0 (onde A=I e \mathbf{b}=(-2,4,-6)^{T}) obtemos
\mathbf{x} = -\tfrac{1}{2}I^{-1}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]4\\[4pt]-6\end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]4\\[4pt]-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix},
confirmando o centro \,(1,-2,3). Esse método é útil quando completar quadrados fica pesado; aqui dá o mesmo resultado mais direto.]

Passo 6

Cálculo dos semieixos: para um elipsoide não degenerado na forma canônica
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}=1,
os comprimentos dos semieixos são a, b e c. No nosso caso obtivemos
\bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(y+2\bigr)^{2} + \bigl(z-3\bigr)^{2} = 0,
que é equivalente a
\frac{(x-1)^{2}}{0^{2}}+\frac{(y+2)^{2}}{0^{2}}+\frac{(z-3)^{2}}{0^{2}}=1
no sentido degenerado. Portanto os comprimentos dos semieixos são
a=b=c=0,
ou seja, todos nulos — a superfície é apenas o ponto central.

Resposta

Classificação: elipsoide degenerado (reduz-se a um único ponto).
Centro: (1,-2,3).
Comprimentos dos semieixos: a=b=c=0.

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