Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
Passo 1
O enunciado fornece a equação da superfície quádrupla
E pede:
- Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone).
- Determinar o centro (se houver).
- Determinar os comprimentos dos semieixos.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e os termos lineares em
e
; não há termo linear em
.
Passo 2
Primeiro vamos agrupar termos por variável e preparar para completar o quadrado:
Colocando fatores que facilitam completar quadrado:
Passo 3
Completar o quadrado para
. Note que
Multiplicando por
:
Passo 4
Completar o quadrado para
. Note que
Passo 5
Substituindo as formas completas na equação original:
Somando as constantes
, obtemos
Isolando o termo constante:
Passo 6
Normalizando, dividindo ambos os lados por
, ficamos com a forma
Esta é exatamente a forma canônica de um elipsoide centrado em
quando se tem
com
. Neste caso todos os termos estão com sinal positivo e a soma é igual a
, portanto a superfície é um elipsoide. O centro é
. Os comprimentos dos semieixos são
,
,
.
Passo 7
Calculando explicitamente os semieixos:
Portanto o elipsoide tem semieixos de comprimentos
,
e
ao longo das direções
,
e
(respectivamente), medidos a partir do centro.
Resposta
Elipsoide.
Centro: .
Comprimentos dos semieixos: .
Centro:
Comprimentos dos semieixos: