Exercício 4. Classifique as seguintes superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone). Determine seu centro (se houver) e os comprimentos dos semieixos.
4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}-8 x+4 y-8=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação da superfície quádrupla
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-8x+4y-8=0
E pede:
  • Classificar a superfície (elipsoide, hiperboloide de uma ou duas folhas, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cone).
  • Determinar o centro (se houver).
  • Determinar os comprimentos dos semieixos.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos e os termos lineares em x e y; não há termo linear em z.

Passo 2

Primeiro vamos agrupar termos por variável e preparar para completar o quadrado:
4x^{2}-8x \;+\; y^{2}+4y \;+\; 4z^{2} \;-\; 8 \;=\; 0.
Colocando fatores que facilitam completar quadrado:
4(x^{2}-2x) \;+\; (y^{2}+4y) \;+\; 4z^{2} \;-\; 8 \;=\; 0.

Passo 3

Completar o quadrado para x. Note que
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
Multiplicando por 4:
4(x^{2}-2x)=4(x-1)^{2}-4.

Passo 4

Completar o quadrado para y. Note que
y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4.

Passo 5

Substituindo as formas completas na equação original:
\bigl(4(x-1)^{2}-4\bigr)+\bigl((y+2)^{2}-4\bigr)+4z^{2}-8=0.
Somando as constantes -4-4-8=-16, obtemos
4(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+4z^{2}-16=0.
Isolando o termo constante:
4(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+4z^{2}=16.

Passo 6

Normalizando, dividindo ambos os lados por 16, ficamos com a forma
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Esta é exatamente a forma canônica de um elipsoide centrado em (h,k,l) quando se tem
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-l)^{2}}{c^{2}}=1,
com a,b,c>0. Neste caso todos os termos estão com sinal positivo e a soma é igual a 1, portanto a superfície é um elipsoide. O centro é (h,k,l)=(1,-2,0). Os comprimentos dos semieixos são a=\sqrt{4}, b=\sqrt{16}, c=\sqrt{4}.

Passo 7

Calculando explicitamente os semieixos:
a=\sqrt{4}=2,\qquad b=\sqrt{16}=4,\qquad c=\sqrt{4}=2.
Portanto o elipsoide tem semieixos de comprimentos 2, 4 e 2 ao longo das direções x, y e z (respectivamente), medidos a partir do centro.

Resposta

Elipsoide.
Centro: (1,-2,0).
Comprimentos dos semieixos: 2,\;4,\;2.

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