Exercício 1 - No cobre, cerca de um elétron por átomo está livre para se mover. Uma moeda de cobre tem massa de 3 g . (a) Qual a porcentagem da carga livre que seria necessária para que a moeda tivesse uma carga de
? (b) Qual seria a força de repulsão entre duas moedas com essa carga se estivessem a 25 cm de distância uma da outra? Suponha que as moedas sejam cargas puntiformes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre cargas elétricas em uma moeda de cobre que pesa 3 g. A gente vai trabalhar com conceitos de carga livre nos elétrons e força de repulsão entre cargas. Precisamos descobrir:
(a) Que porcentagem dos elétrons livres precisa estar carregada para que a moeda tenha uma carga de 15 μC.
(b) Qual seria a força de repulsão entre duas moedas com essa carga, separadas por 25 cm, assumindo que elas são cargas puntiformes (ou seja, se comportam como pontos carregados).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). A ideia é descobrir qual porcentagem dos elétrons livres na moeda está responsável por gerar a carga de 15 μC.
Passo 3
Vamos calcular quantos elétrons são necessários para gerar uma carga de 15 μC. A carga de um elétron é aproximadamente $ -1,6 \times 10^{-19} $ C. Mas como estamos falando da carga total, vamos considerar o valor absoluto.
Então, número de elétrons necessários $ n = \frac{Q}{e} = \frac{15 \times 10^{-6}\ C}{1,6 \times 10^{-19}\ C/elétron} $.
Passo 4
Calculando:
$ n = \frac{15 \times 10^{-6}}{1,6 \times 10^{-19}} = \frac{15}{1,6} \times 10^{13} \approx 9,375 \times 10^{13} $ elétrons.
Passo 5
Agora, precisamos saber quantos elétrons estão livres na moeda de cobre. Sabemos que em cobre há aproximadamente um elétron livre por átomo. Então, vamos calcular o número de átomos em 3 g de cobre.
A massa molar do cobre é aproximadamente 63,55 g/mol. Número de mols $ n_{mols} = \frac{3\ g}{63,55\ g/mol} \approx 0,0472\ mol $.
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo número de Avogadro ($ 6,022 \times 10^{23}\ átomos/mol $) para encontrar o número de átomos:
Número de átomos $ N = 0,0472 \times 6,022 \times 10^{23} \approx 2,84 \times 10^{22} $ átomos.
Como há um elétron livre por átomo, temos $ 2,84 \times 10^{22} $ elétrons livres na moeda.
Passo 7
Agora, queremos saber que porcentagem desses elétrons ($ 9,375 \times 10^{13} $) representa a carga de 15 μC.
Porcentagem $ P = \left( \frac{9,375 \times 10^{13}}{2,84 \times 10^{22}} \right) \times 100% $.
Passo 8
Calculando:
$ P = \left( \frac{9,375 \times 10^{13}}{2,84 \times 10^{22}} \right) \times 100% \approx 3,30 \times 10^{-5}% $.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular a força de repulsão entre duas moedas carregadas com 15 μC cada, separadas por 25 cm.
Vamos usar a Lei de Coulomb, que diz que a força $ F $ entre duas cargas puntiformes é dada por:
onde:
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10{9} \text{N·m}2/C^2 $),
- $ Q_1 $ e $ Q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 10
Substituindo os valores:
$ Q_1 = Q_2 = 15 \times 10^{-6}\ C $,
$ r = 0,25\ m $,
$ r = 0,25\ m $,
Passo 11
Calculando os valores:
$ (15 \times 10{-6})2 = 225 \times 10^{-12} = 2,25 \times 10{-10} \text{C}2 $,
$ (0,25)^2 = 0,0625\ m^2 $,
Então,
Passo 12
Simplificando:
$ \frac{2,25 \times 10^{-10}}{0,0625} = 3,6 \times 10^{-9} $,
Assim,
$ F = 8,988 \times 10^{9} \times 3,6 \times 10^{-9} = 32,3568\ N $.
Resposta
(a) Aproximadamente $ 3,30 \times 10^{-5}% $ dos elétrons livres precisam estar carregados para que a moeda tenha uma carga de 15 μC.
(b) A força de repulsão entre as duas moedas será aproximadamente 32,36 N.