Exercício 7: Colisão Bidimensional com Alvo em Repouso
Uma bola de bilhar A, de massa m, move-se com uma velocidade inicial v_{A 1}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo do eixo +x e colide com uma segunda bola idêntica B , inicialmente em repouso ( v_{B 1}=0 ). Após a colisão, a bola A passa a mover-se com velocidade de magnitude v_{A 2}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} fazendo um ângulo de 60^{\circ} acima do eixo +x.
c) Verifique se a colisão foi perfeitamente elástica ou se houve perda de energia cinética.

Passo 1

O enunciado e o que se pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Bola A: massa m, velocidade inicial \,v_{A1}=2,0\\ \mathrm{m/s}\, ao longo do eixo +x.
  • Bola B: massa m (idêntica), inicialmente em repouso, \,v_{B1}=0.
  • Após a colisão: bola A tem velocidade de módulo \,v_{A2}=1,0\\ \mathrm{m/s}\, formando um ângulo de 60^\circ acima do eixo +x.
    O que a parte (c) pede: verificar se a colisão foi perfeitamente elástica ou se houve perda de energia cinética (isto é, comparar a energia cinética total antes e depois da colisão).

Passo 2

Princípios físicos que vou usar (explicação didática):
  • Conservação do momento linear (quantidade de movimento): em colisões isoladas, o momento total vetorial do sistema se conserva. Escrevendo em componentes x e y é mais simples porque os vetores se decompõem.
    • Fórmula vetorial geral: \vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
    • Em componentes: p_{x,\text{in}}=p_{x,\text{fin}} e p_{y,\text{in}}=p_{y,\text{fin}}.
    • Como as massas são iguais, aparecerá um fator m em todas as parcelas e ele pode ser cancelado nas equações de conservação do momento (mas vou manter m nas expressões de energia).
  • Energia cinética: para cada partícula K=\dfrac{1}{2}m v^2. A colisão é perfeitamente elástica se e somente se a energia cinética total antes for igual à energia cinética total depois. Se a energia final for menor, houve perda (transformada em calor, som, deformação etc.).
Agora escrevo as equações de momento em componentes. Chamo as componentes finais da bola B de v_{B2x} e v_{B2y}. As componentes finais da bola A são obtidas de v_{A2} e do ângulo 60^\circ:
v_{A2x}=v_{A2}\cos 60^\circ,\qquad v_{A2y}=v_{A2}\sin 60^\circ.

Passo 3

Calcular as componentes de \vec{v}_{A2}:
v_{A2x}=1,0\cdot\cos 60^\circ=1,0\cdot\frac{1}{2}=0,5\\ \mathrm{m/s},
v_{A2y}=1,0\cdot\sin 60^\circ=1,0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx0,8660\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar conservação do momento na direção x. Momento inicial em x:
p_{x,\text{in}}=m\,v_{A1}=m\cdot 2,0.
Momento final em x:
p_{x,\text{fin}}=m\,v_{A2x}+m\,v_{B2x}=m(0,5+v_{B2x}).
Igualando e cancelando m:
2,0=0,5+v_{B2x}\quad\Rightarrow\quad v_{B2x}=2,0-0,5=1,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Aplicar conservação do momento na direção y. Momento inicial em y é zero (não havia componente y inicial):
0=m\,v_{A2y}+m\,v_{B2y}=m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+v_{B2y}\right).
Cancelando m e resolvendo:
v_{B2y}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx-0,8660\\ \mathrm{m/s}.
Ou seja, a bola B sai com componente vertical para baixo, balanceando a componente vertical para cima da bola A.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade final da bola B:
v_{B2}=\sqrt{v_{B2x}^{2}+v_{B2y}^{2}}=\sqrt{(1,5)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Fazendo as contas:
(1,5)^{2}=2,25,\qquad\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}=0,75,
v_{B2}=\sqrt{2,25+0,75}=\sqrt{3,00}=\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx1,732\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular energias cinéticas antes e depois (em função de m; m não foi dada, então deixamos em termos de m):
  • Energia cinética inicial (apenas a bola A se movia):
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m v_{A1}^{2}=\tfrac{1}{2}m(2,0)^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot 4,0=2,0\,m.
  • Energia cinética final (soma das duas bolas):
K_{A,\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v_{A2}^{2}=\tfrac{1}{2}m(1,0)^{2}=0,5\,m,
K_{B,\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v_{B2}^{2}=\tfrac{1}{2}m(\sqrt{3})^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot 3,0=1,5\,m.
Somando:
K_{\text{final}}=K_{A,\text{final}}+K_{B,\text{final}}=0,5\,m+1,5\,m=2,0\,m.

Passo 8

Comparação e conclusão (explicação didática): como K_{\text{inicial}}=2,0\,m e K_{\text{final}}=2,0\,m, a energia cinética total foi conservada. Pela definição, isso significa que a colisão é perfeitamente elástica — não houve perda de energia cinética (nenhuma energia cinética convertida em calor, som ou deformação, dentro do modelo ideal).

Resposta

A colisão foi perfeitamente elástica — não houve perda de energia cinética (energia inicial =2,0\,m, energia final =2,0\,m).

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