Exercício 7: Colisão Bidimensional com Alvo em Repouso
Uma bola de bilhar A, de massa m, move-se com uma velocidade inicial v_{A 1}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo do eixo +x e colide com uma segunda bola idêntica B , inicialmente em repouso ( v_{B 1}=0 ). Após a colisão, a bola A passa a mover-se com velocidade de magnitude v_{A 2}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} fazendo um ângulo de 60^{\circ} acima do eixo +x.
b) Determine a magnitude da velocidade final v_{B 2} da bola B e o ângulo \theta que sua trajetória faz abaixo do eixo +x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as grandezas abaixo foram tiradas do enunciado):
  • Duas bolas idênticas com massa m (a massa é a mesma para A e B).
  • Velocidades iniciais:
    • Bola A: v_{A1}=2,0\\ \mathrm{m/s} dirigida ao longo do eixo +x.
    • Bola B: v_{B1}=0 (em repouso).
  • Após a colisão:
    • Bola A: v_{A2}=1,0\\ \mathrm{m/s} fazendo um ângulo de 60^\circ acima do eixo +x.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a magnitude da velocidade final v_{B2} da bola B.
    • Determinar o ângulo \theta que a trajetória de B faz abaixo do eixo +x.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como não há forças externas horizontais relevantes durante a interação curta entre as bolas, a quantidade de movimento linear (momentum) é conservada. O momentum de uma partícula é \vec{p}=m\vec{v}. Como é uma situação bidimensional, decompomos vetores em componentes x e y e aplicamos conservação de momentum em cada componente separadamente.
Observação útil: as massas são idênticas, então o fator m aparece em todos os termos e vai cancelar das equações de momentum — isso simplifica bastante os cálculos. Não precisamos assumir elasticidade para usar apenas conservação de momento; porém, se quisermos verificar depois, podemos checar conservação de energia cinética como teste.
Também lembre que
\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Escrevendo a conservação do momentum na direção x (antes = depois). Em forma vetorial escalar para x:
m v_{A1} = m v_{A2}\cos 60^\circ + m v_{B2}\cos\theta.
Cancelando m:
v_{A1} = v_{A2}\cos 60^\circ + v_{B2}\cos\theta.
Substituindo os valores numéricos conhecidos:
2,0 = 1,0\cdot\cos 60^\circ + v_{B2}\cos\theta.
Como \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, obtemos
2,0 = 1,0\cdot\tfrac{1}{2} + v_{B2}\cos\theta \quad\Rightarrow\quad v_{B2}\cos\theta = 2,0 - 0,5 = 1,5.

Passo 4

Agora a componente y. Tomando positivo para cima: antes da colisão a componente y total é zero; depois é a soma das componentes y de A (para cima) e de B (para baixo). Escrevendo a conservação:
0 = m v_{A2}\sin 60^\circ - m v_{B2}\sin\theta.
Cancelando m:
0 = v_{A2}\sin 60^\circ - v_{B2}\sin\theta.
Substituindo v_{A2}=1,0 e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_{B2}\sin\theta = 1,0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Resolver para v_{B2} usando as duas equações obtidas nos Passos 3 e 4. Podemos eliminar \theta elevando ao quadrado e somando as duas igualdades (isto usa \cos^2\theta+\sin^2\theta=1):
(v_{B2}\cos\theta)^2 + (v_{B2}\sin\theta)^2 = (1,5)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2.
O lado esquerdo é v_{B2}^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=v_{B2}^2. Agora calcule o lado direito:
(1,5)^2 = 2,25,\qquad \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4}=0,75.
Somando:
v_{B2}^2 = 2,25 + 0,75 = 3,00.
Portanto
v_{B2} = \sqrt{3,00} = \sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,73\\ \mathrm{m/s}.
(Escolhe-se a raiz positiva porque v_{B2} é uma magnitude.)

Passo 6

Agora encontramos \theta. Use uma das equações do Passo 3 ou 4; por exemplo:
\cos\theta = \frac{1,5}{v_{B2}} = \frac{1,5}{\sqrt{3}}.
Como \sqrt{3}\approx1,732, temos
\cos\theta = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{1,5}{1,732\ldots}=0,866\ldots
Isso corresponde a \cos\theta=\cos 30^\circ. Verificação com a outra equação:
\sin\theta = \frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{v_{B2}} = \frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\tfrac{1}{2}=\sin 30^\circ,
confirmando \theta=30^\circ.
Lembrete sobre o sinal: obtivemos v_{B2}\sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2} com a equação escrita como v_{A2}\sin60^\circ - v_{B2}\sin\theta=0, o que mostra que a componente y de B é negativa quando considerada em relação ao eixo com sinal positivo para cima; por isso dizemos que a trajetória de B faz \theta=30^\circ abaixo do eixo +x.

Passo 7

Cheque rápido (opcional, para confiança): energia cinética inicial e final (para verificar elasticidade). Energia inicial:
K_i=\tfrac{1}{2}m v_{A1}^2=\tfrac{1}{2}m(2,0)^2=2,0\,m.
Energia final:
K_f=\tfrac{1}{2}m v_{A2}^2+\tfrac{1}{2}m v_{B2}^2 =\tfrac{1}{2}m(1,0)^2+\tfrac{1}{2}m(\sqrt{3})^2 =\tfrac{1}{2}m(1+3)=2,0\,m.
Temos K_f=K_i, ou seja, a energia cinética também se conserva — a colisão é elástica, o que confirma consistência dos resultados.

Resposta

v_{B2}=\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}73\\ \mathrm{m/s}
\theta=30^\circ abaixo do eixo +x

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