Exercício 7: Colisão Bidimensional com Alvo em Repouso
Uma bola de bilhar A, de massa
, move-se com uma velocidade inicial
ao longo do eixo
e colide com uma segunda bola idêntica B , inicialmente em repouso (
). Após a colisão, a bola A passa a mover-se com velocidade de magnitude
fazendo um ângulo de
acima do eixo
.
b) Determine a magnitude da velocidade final
da bola B e o ângulo
que sua trajetória faz abaixo do eixo
.
Uma bola de bilhar A, de massa
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as grandezas abaixo foram tiradas do enunciado):
- Duas bolas idênticas com massa
(a massa é a mesma para A e B). - Velocidades iniciais:
- Bola A:
dirigida ao longo do eixo . - Bola B:
(em repouso).
- Bola A:
- Após a colisão:
- Bola A:
fazendo um ângulo de acima do eixo .
- Bola A:
- O que o problema pede:
- Determinar a magnitude da velocidade final
da bola B. - Determinar o ângulo
que a trajetória de B faz abaixo do eixo .
- Determinar a magnitude da velocidade final
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como não há forças externas horizontais relevantes durante a interação curta entre as bolas, a quantidade de movimento linear (momentum) é conservada. O momentum de uma partícula é
. Como é uma situação bidimensional, decompomos vetores em componentes
e
e aplicamos conservação de momentum em cada componente separadamente.
Observação útil: as massas são idênticas, então o fator
aparece em todos os termos e vai cancelar das equações de momentum — isso simplifica bastante os cálculos. Não precisamos assumir elasticidade para usar apenas conservação de momento; porém, se quisermos verificar depois, podemos checar conservação de energia cinética como teste.
Também lembre que
Passo 3
Escrevendo a conservação do momentum na direção
(antes = depois). Em forma vetorial escalar para
:
Cancelando
:
Substituindo os valores numéricos conhecidos:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora a componente
. Tomando positivo para cima: antes da colisão a componente
total é zero; depois é a soma das componentes
de A (para cima) e de B (para baixo). Escrevendo a conservação:
Cancelando
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Resolver para
usando as duas equações obtidas nos Passos 3 e 4. Podemos eliminar
elevando ao quadrado e somando as duas igualdades (isto usa
):
O lado esquerdo é
. Agora calcule o lado direito:
Somando:
Portanto
(Escolhe-se a raiz positiva porque
é uma magnitude.)
Passo 6
Agora encontramos
. Use uma das equações do Passo 3 ou 4; por exemplo:
Como
, temos
Isso corresponde a
. Verificação com a outra equação:
confirmando
.
Lembrete sobre o sinal: obtivemos
com a equação escrita como
, o que mostra que a componente
de B é negativa quando considerada em relação ao eixo com sinal positivo para cima; por isso dizemos que a trajetória de B faz
abaixo do eixo
.
Passo 7
Cheque rápido (opcional, para confiança): energia cinética inicial e final (para verificar elasticidade). Energia inicial:
Energia final:
Temos
, ou seja, a energia cinética também se conserva — a colisão é elástica, o que confirma consistência dos resultados.