Exercício 7: Colisão Bidimensional com Alvo em Repouso
Uma bola de bilhar A, de massa m, move-se com uma velocidade inicial v_{A 1}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo do eixo +x e colide com uma segunda bola idêntica B , inicialmente em repouso ( v_{B 1}=0 ). Após a colisão, a bola A passa a mover-se com velocidade de magnitude v_{A 2}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} fazendo um ângulo de 60^{\circ} acima do eixo +x.
a) Escreva as equações de conservação do momento linear para as direçoes x e y separadamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Duas bolas idênticas, cada uma de massa m.
  • Bola A inicial: velocidade \,v_{A1}=2{,}0\\ \mathrm{m/s} ao longo do eixo +x.
  • Bola B inicial: em repouso, \,v_{B1}=0.
  • Após a colisão, bola A: velocidade de magnitude \,v_{A2}=1{,}0\\ \mathrm{m/s} formando um ângulo de 60^\circ acima do eixo +x.
    O que o enunciado pede: escrever as equações de conservação do momento linear nas direções x e y separadamente.

Passo 2

Lembrete breve (passo-a-passo didático): o momento linear de uma partícula é \, \mathbf{p}=m\mathbf{v}.
Em uma colisão isolada (nenhum impulso externo importante durante o breve intervalo), o momento linear total antes é igual ao total depois. Isso é uma equação vetorial:
m\mathbf{v}_{A1}+m\mathbf{v}_{B1}=m\mathbf{v}_{A2}+m\mathbf{v}_{B2}.
Como a igualdade é vetorial, vale em cada componente (em x e em y) separadamente. Para usar isso, decompomos cada velocidade em componentes x e y.

Passo 3

Decomposição da velocidade final da bola A (explicando como fazer):
  • A velocidade final de A tem magnitude v_{A2}=1{,}0\\ \mathrm{m/s} e ângulo 60^\circ acima do eixo +x.
  • Componente x: \,v_{A2x}=v_{A2}\cos 60^\circ.
  • Componente y: \,v_{A2y}=v_{A2}\sin 60^\circ.
    Substituindo os valores trigonométricos \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
v_{A2x}=1{,}0\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{A2y}=1{,}0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}8660\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora escrevemos a conservação do momento componente a componente. Começamos pela componente x.
A componente x da equação vetorial é
m v_{A1,x} + m v_{B1,x} = m v_{A2x} + m v_{B2x}.
Aqui v_{A1,x}=v_{A1}=2{,}0\\ \mathrm{m/s} (pois A vinha ao longo de +x) e v_{B1,x}=0 (B em repouso). Substituindo os números e os v_{A2x} calculados:
m\cdot 2{,}0 + m\cdot 0 = m\cdot 0{,}5 + m\,v_{B2x}.
Dividindo toda a equação por m (as massas não nulas cancelam), obtemos a forma simplificada:
2{,}0 = 0{,}5 + v_{B2x}.

Passo 5

Da igualdade acima isolamos v_{B2x}:
v_{B2x}=2{,}0-0{,}5=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a componente y. A componente y da equação vetorial é
m v_{A1,y} + m v_{B1,y} = m v_{A2y} + m v_{B2y}.
Inicialmente não havia componente y (ambas as bolas tinham v_y=0), então v_{A1,y}=0 e v_{B1,y}=0. Substituindo v_{A2y}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}:
m\cdot 0 + m\cdot 0 = m\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + m\,v_{B2y}.
Dividindo por m e simplificando:
0 = \frac{\sqrt{3}}{2} + v_{B2y}.

Passo 7

Isolando v_{B2y} obtemos
v_{B2y}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx -0{,}8660\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\text{(x)}\qquad m v_{A1,x}+m v_{B1,x}=m v_{A2x}+m v_{B2x} \quad\Longrightarrow\quad 2{,}0=0{,}5+v_{B2x}\quad\Longrightarrow\quad v_{B2x}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}
\text{(y)}\qquad m v_{A1,y}+m v_{B1,y}=m v_{A2y}+m v_{B2y} \quad\Longrightarrow\quad 0=\frac{\sqrt{3}}{2}+v_{B2y}\quad\Longrightarrow\quad v_{B2y}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx-0{,}8660\\ \mathrm{m/s}

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