Exercício 7: Colisão Bidimensional com Alvo em Repouso
Uma bola de bilhar A, de massa
, move-se com uma velocidade inicial
ao longo do eixo
e colide com uma segunda bola idêntica B , inicialmente em repouso (
). Após a colisão, a bola A passa a mover-se com velocidade de magnitude
fazendo um ângulo de
acima do eixo
.
a) Escreva as equações de conservação do momento linear para as direçoes
e
separadamente.
Uma bola de bilhar A, de massa
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Duas bolas idênticas, cada uma de massa
. - Bola A inicial: velocidade
ao longo do eixo . - Bola B inicial: em repouso,
. - Após a colisão, bola A: velocidade de magnitude
formando um ângulo de acima do eixo .
O que o enunciado pede: escrever as equações de conservação do momento linear nas direçõese separadamente.
Passo 2
Lembrete breve (passo-a-passo didático): o momento linear de uma partícula é
.
Em uma colisão isolada (nenhum impulso externo importante durante o breve intervalo), o momento linear total antes é igual ao total depois. Isso é uma equação vetorial:
Em uma colisão isolada (nenhum impulso externo importante durante o breve intervalo), o momento linear total antes é igual ao total depois. Isso é uma equação vetorial:
Como a igualdade é vetorial, vale em cada componente (em
e em
) separadamente. Para usar isso, decompomos cada velocidade em componentes
e
.
Passo 3
Decomposição da velocidade final da bola A (explicando como fazer):
- A velocidade final de A tem magnitude
e ângulo acima do eixo . - Componente
: . - Componente
: .
Substituindo os valores trigonométricose :
Passo 4
Agora escrevemos a conservação do momento componente a componente. Começamos pela componente
.
A componente da equação vetorial é
A componente
Aqui
(pois A vinha ao longo de
) e
(B em repouso). Substituindo os números e os
calculados:
Dividindo toda a equação por
(as massas não nulas cancelam), obtemos a forma simplificada:
Passo 5
Da igualdade acima isolamos
:
Passo 6
Agora a componente
. A componente
da equação vetorial é
Inicialmente não havia componente
(ambas as bolas tinham
), então
e
. Substituindo
:
Dividindo por
e simplificando:
Passo 7
Isolando
obtemos