Exercício 4: Colisão Totalmente Inelástica
Em um cruzamento, um carro de massa m_{1}=1200 \mathrm{~kg} que viaja para o leste com uma velocidade de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} colide com uma picape de massa m_{2}=1800 \mathrm{~kg} que se deslocava para o norte com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Os dois veículos engatam um no outro após a colisão, movendo-se juntos como um único objeto compacto.
b) Calcule a magnitude e a direção (ângulo em relação ao leste) da velocidade final.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números que ele deu):
  • Massa do carro: m_{1}=1200\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do carro: v_{1}=15\\ \mathrm{m/s} para o leste.
  • Massa da picape: m_{2}=1800\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da picape: v_{2}=10\\ \mathrm{m/s} para o norte.
  • Situação após a colisão: colisão totalmente inelástica — os dois engatam e seguem juntos como um único objeto.
O que o exercício pede:
  • Calcular a magnitude da velocidade final do conjunto.
  • Calcular a direção dessa velocidade, isto é, o ângulo em relação ao leste (medido para o norte).

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos para trabalhar com componentes vetoriais:
  • eixo x: direção leste, positiva para o leste.
  • eixo y: direção norte, positiva para o norte.
Definimos a velocidade final do conjunto como o vetor \vec{v}_{f} com componentes v_{fx} e v_{fy}. A ideia central é usar a conservação do momento linear: num choque externo desprezível e de curta duração, o momento total se conserva. Em forma vetorial isso é
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
Aqui \vec{p}=m\vec{v}. Para dois corpos:
m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=(m_{1}+m_{2})\vec{v}_{f}.
Vou aplicar essa equação separando as componentes x e y.

Passo 3

Escrevendo as equações de conservação para cada componente:
p_{x,\text{inicial}}=m_{1}v_{1x}+m_{2}v_{2x}=(m_{1}+m_{2})v_{fx},
p_{y,\text{inicial}}=m_{1}v_{1y}+m_{2}v_{2y}=(m_{1}+m_{2})v_{fy}.
Como o carro vai para o leste, ele tem componente x igual à sua velocidade e componente y nula. Como a picape vai para o norte, tem componente y igual à sua velocidade e componente x nula. Ou seja:
v_{1x}=15,\quad v_{1y}=0,\quad v_{2x}=0,\quad v_{2y}=10,
com velocidades em \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular os momentos iniciais de cada veículo nas componentes x e y.
Para o carro ( m_{1}, leste):
p_{1x}=m_{1}v_{1x}=1200\cdot15=18000\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{1y}=m_{1}v_{1y}=1200\cdot0=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Para a picape ( m_{2}, norte):
p_{2x}=m_{2}v_{2x}=1800\cdot0=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{2y}=m_{2}v_{2y}=1800\cdot10=18000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Somando os momentos das duas peças obtemos o momento total inicial (componentes):
p_{x,\text{total}}=p_{1x}+p_{2x}=18000+0=18000\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{y,\text{total}}=p_{1y}+p_{2y}=0+18000=18000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
A massa total do conjunto após o engate é
M=m_{1}+m_{2}=1200+1800=3000\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Usando (m_{1}+m_{2})\vec{v}_{f}=\vec{p}_{\text{total}} para encontrar as componentes da velocidade final:
v_{fx}=\frac{p_{x,\text{total}}}{M}=\frac{18000}{3000}=6\\ \mathrm{m/s},
v_{fy}=\frac{p_{y,\text{total}}}{M}=\frac{18000}{3000}=6\\ \mathrm{m/s}.
Portanto as componentes da velocidade final são v_{fx}=6\\ \mathrm{m/s} (leste) e v_{fy}=6\\ \mathrm{m/s} (norte).

Passo 8

Calcular a magnitude da velocidade final e o ângulo relativo ao leste.
Magnitude (norma do vetor):
v=\sqrt{v_{fx}^{2}+v_{fy}^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 8,49\\ \mathrm{m/s}.
Direção (ângulo \theta medido a partir do leste, positivo em direção ao norte):
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_{fy}}{v_{fx}}\right)=\arctan\!\left(\frac{6}{6}\right)=\arctan(1)=45^\circ.
Como ambas as componentes são positivas, o vetor aponta para o quadrante nordeste, ou seja, 45^\circ ao norte do leste.

Resposta

v=6\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 8{,}49\\ \mathrm{m/s}
\theta=45^\circ (ao norte do leste)

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