Exercício 5: Colisão Elástica Unidimensional
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa
, move-se inicialmente para a direita com uma velocidade de
. O bloco B, de massa
, move-se inicialmente para a esquerda com uma velocidade de
.
a) Determine as velocidades finais (módulos e sentidos) dos blocos A e B após a colisão.
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as velocidades finais de ambos os blocos após a colisão:
- Massa do bloco A:
. - Velocidade inicial do bloco A (para a direita):
. - Massa do bloco B:
. - Velocidade inicial do bloco B (para a esquerda):
.
O que se pede:
- Determinar as velocidades finais (módulos e sentidos) de A e B após a colisão elástica frontal unidimensional.
Passo 2
Escolha de sinal e conversão das velocidades iniciais em sinais algébricos:
- Vou adotar o sentido para a direita como positivo.
- Como
está para a direita, . - Como
está para a esquerda, .
Então, para usar nas fórmulas:
Passo 3
Princípios físicos útilies (explicados de forma simples):
- Conservação do momento linear (momento total antes = momento total depois). Em 1D isso dá a equação
onde
e
são as velocidades finais (desconhecidas).
- Colisão perfeitamente elástica também conserva a energia cinética. Uma forma prática e muito usada para colisões frontais 1D é a propriedade da velocidade relativa: para uma colisão elástica e frontal
Isto significa, em palavras, que a velocidade de aproximação antes da colisão tem o mesmo módulo e sentido contrário entre os corpos depois da colisão.
Vou usar essas duas equações (momento e relação de velocidade relativa) para resolver
e
. Explico passo a passo como combiná-las.
Passo 4
Usar a relação de velocidade relativa para expressar
em função de
:
Substituir essa expressão na equação de conservação do momento:
Agrupando os termos de
:
Isolando
:
Simplificando os termos no lado direito:
Portanto a fórmula prática para
é
Uma vez encontrado
, obtém-se
por
(Observação rápida: essas expressões equivalem às fórmulas padrão de colisão elástica que também podem ser escritas isoladamente para
e
. Aqui derivei
e deduzo
pela relação relativa para ficar didático.)
Passo 5
Calcular numericamente
passo a passo:
Primeiro calcule
:
Calcule o numerador de
:
Calcule cada termo:
Somando:
Logo
Agora calcule
usando a relação relativa:
Calcule
:
Portanto
Passo 6
Interpretação dos sinais (sentido e módulo) e verificação rápida:
- Para
: o sinal negativo indica que A passou a mover-se para a esquerda com velocidade de módulo . - Para
: o sinal positivo indica que B passou a mover-se para a direita com velocidade de módulo .
Verificação (checar momento e energia para garantir consistência):
- Momento inicial:
- Momento final:
confere com o inicial.
- Energia cinética inicial:
- Energia cinética final:
também confere (pequenas diferenças de arredondamento são esperadas).
Passo 7
Resumo em palavras motivador:
- A, que vinha para a direita mais devagar que B vinha para a esquerda em módulo relativo, após a colisão acaba invertendo o sentido e indo para a esquerda com pequena velocidade.
- B recebe grande quantidade de velocidade para a direita (fica com
), porque houve transferência de momento e energia na colisão elástica.