Exercício 5: Colisão Elástica Unidimensional
Dois blocos em um trilho de ar horizontal sem atrito realizam uma colisão elástica frontal. O bloco A, de massa m_{A}=0,50 \mathrm{~kg}, move-se inicialmente para a direita com uma velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O bloco B, de massa m_{B}=0,30 \mathrm{~kg}, move-se inicialmente para a esquerda com uma velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Determine as velocidades finais (módulos e sentidos) dos blocos A e B após a colisão.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as velocidades finais de ambos os blocos após a colisão:
  • Massa do bloco A: m_{A} = 0,50\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco A (para a direita): v_{A} = 4,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do bloco B: m_{B} = 0,30\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco B (para a esquerda): v_{B} = 2,0\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede:
  • Determinar as velocidades finais (módulos e sentidos) de A e B após a colisão elástica frontal unidimensional.

Passo 2

Escolha de sinal e conversão das velocidades iniciais em sinais algébricos:
  • Vou adotar o sentido para a direita como positivo.
  • Como v_{A} está para a direita, v_{A}=+4,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Como v_{B} está para a esquerda, v_{B}=-2,0\\ \mathrm{m/s}.
Então, para usar nas fórmulas:
m_{A}=0,50\\ \mathrm{kg},\qquad v_{A}=+4,0\\ \mathrm{m/s},
m_{B}=0,30\\ \mathrm{kg},\qquad v_{B}=-2,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Princípios físicos útilies (explicados de forma simples):
  • Conservação do momento linear (momento total antes = momento total depois). Em 1D isso dá a equação
m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=m_{A}v'_{A}+m_{B}v'_{B},
onde v'_{A} e v'_{B} são as velocidades finais (desconhecidas).
  • Colisão perfeitamente elástica também conserva a energia cinética. Uma forma prática e muito usada para colisões frontais 1D é a propriedade da velocidade relativa: para uma colisão elástica e frontal
v'_{A}-v'_{B}=-(v_{A}-v_{B}).
Isto significa, em palavras, que a velocidade de aproximação antes da colisão tem o mesmo módulo e sentido contrário entre os corpos depois da colisão.
Vou usar essas duas equações (momento e relação de velocidade relativa) para resolver v'_{A} e v'_{B}. Explico passo a passo como combiná-las.

Passo 4

Usar a relação de velocidade relativa para expressar v'_{A} em função de v'_{B}:
v'_{A}=v'_{B}-(v_{A}-v_{B}).
Substituir essa expressão na equação de conservação do momento:
m_{A}\bigl(v'_{B}-(v_{A}-v_{B})\bigr)+m_{B}v'_{B}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}.
Agrupando os termos de v'_{B}:
(m_{A}+m_{B})v'_{B}-m_{A}(v_{A}-v_{B})=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}.
Isolando v'_{B}:
(m_{A}+m_{B})v'_{B}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}+m_{A}v_{A}-m_{A}v_{B}.
Simplificando os termos no lado direito:
(m_{A}+m_{B})v'_{B}=2m_{A}v_{A}+(m_{B}-m_{A})v_{B}.
Portanto a fórmula prática para v'_{B} é
v'_{B}=\frac{2m_{A}v_{A}+(m_{B}-m_{A})v_{B}}{m_{A}+m_{B}}.
Uma vez encontrado v'_{B}, obtém-se v'_{A} por
v'_{A}=v'_{B}-(v_{A}-v_{B}).
(Observação rápida: essas expressões equivalem às fórmulas padrão de colisão elástica que também podem ser escritas isoladamente para v'_{A} e v'_{B}. Aqui derivei v'_{B} e deduzo v'_{A} pela relação relativa para ficar didático.)

Passo 5

Calcular numericamente v'_{B} passo a passo:
Primeiro calcule m_{A}+m_{B}:
m_{A}+m_{B}=0,50+0,30=0,80\\ \mathrm{kg}.
Calcule o numerador de v'_{B}:
2m_{A}v_{A}+(m_{B}-m_{A})v_{B} =2\cdot0,50\cdot4,0+(0,30-0,50)\cdot(-2,0).
Calcule cada termo:
2\cdot0,50\cdot4,0=1,00\cdot4,0=4,0,
(0,30-0,50)\cdot(-2,0)=(-0,20)\cdot(-2,0)=+0,40.
Somando:
\text{numerador}=4,0+0,40=4,40.
Logo
v'_{B}=\frac{4,40}{0,80}=5,5\\ \mathrm{m/s}.
Agora calcule v'_{A} usando a relação relativa:
v'_{A}=v'_{B}-(v_{A}-v_{B})=5,5-(4,0-(-2,0)).
Calcule v_{A}-v_{B}:
v_{A}-v_{B}=4,0-(-2,0)=4,0+2,0=6,0\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
v'_{A}=5,5-6,0=-0,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação dos sinais (sentido e módulo) e verificação rápida:
  • Para v'_{A}=-0,5\\ \mathrm{m/s}: o sinal negativo indica que A passou a mover-se para a esquerda com velocidade de módulo 0,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Para v'_{B}=+5,5\\ \mathrm{m/s}: o sinal positivo indica que B passou a mover-se para a direita com velocidade de módulo 5,5\\ \mathrm{m/s}.
Verificação (checar momento e energia para garantir consistência):
  • Momento inicial:
p_{\text{ini}}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}=0,50\cdot4,0+0,30\cdot(-2,0)=2,0-0,6=1,4\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final:
p_{\text{fin}}=0,50\cdot(-0,5)+0,30\cdot5,5=-0,25+1,65=1,4\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
confere com o inicial.
  • Energia cinética inicial:
K_{\text{ini}}=\tfrac{1}{2}m_{A}v_{A}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{B}v_{B}^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot0,50\cdot(4,0)^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot0,30\cdot(2,0)^{2} =4,0+0,6=4,6\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final:
K_{\text{fin}}=\tfrac{1}{2}\cdot0,50\cdot(0,5)^{2}+\tfrac{1}{2}\cdot0,30\cdot(5,5)^{2} =0,0625+4,5375=4,6\\ \mathrm{J},
também confere (pequenas diferenças de arredondamento são esperadas).

Passo 7

Resumo em palavras motivador:
  • A, que vinha para a direita mais devagar que B vinha para a esquerda em módulo relativo, após a colisão acaba invertendo o sentido e indo para a esquerda com pequena velocidade.
  • B recebe grande quantidade de velocidade para a direita (fica com 5,5\\ \mathrm{m/s}), porque houve transferência de momento e energia na colisão elástica.

Resposta

v'_{A}=-0,5\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 0,5\\ \mathrm{m/s} para a esquerda)
v'_{B}=5,5\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 5,5\\ \mathrm{m/s} para a direita)

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